Пі

	Пі
	Ππϖ
	Выява
	◄ : ; · √ 'Ππϖ' ÷ × § ¶ ►
Зьвесткі
Тып	;
Назва ў Юнікодзе	π: greek capital letter pi; π: greek small letter pi; ϖ: greek pi symbol
Юнікод	Π: U+03A0; π: U+03C0; ϖ: U+03D6
HTML	Π‎: &#928, Π π‎: &#960, π ϖ‎: &#982, &#x3d6
UTF-16	Π‎: 0x3A0; π‎: 0x3C0; ϖ‎: 0x3D6
URL-код	Π: %CE%A0; π: %CF%80; ϖ: %CF%96
	усе сымбалі · лацінка · кірыліца · грэцкія · дыякрытыкі · валюты · дапамога

Лік π (прамаўляецца «пі») — матэматычная канстанта, абазначэньне дзелі даўжыні акружыны на яе дыямэтар. Пазначаецца літарай грэцкага альфабэту «пі».

Лік $\pi$ упершыню паўстаў у геамэтрыі як дзеля даўжыні акружыны на як дыямэтар, аднак ён зьяўляецца і ў іншых абласьцях матэматыкі. Лік $\pi$ ірацыянальны і трансцэндэнтны.

Упершыню пазначэньнем гэтага ліку грэцкай літарай $\pi$ скарыстаўся брытанскі матэматык Ўільям Джонз у 1706 годзе, а агульнапрынятым ён стаў пасьля працаў Леанарда Ойлера ў 1737 годзе.^[1]^[2] Гэтае пазначэнне паходзіць ад пачатковай літары грэцкіх словаў па-старажытнагрэцку: περιφέρεια — акружына, пэрыфэрыя і па-старажытнагрэцку: περίμετρος — пэрымэтар.

Ацэнкі

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Ацэнкі ў выглядзе дробаў:

${\frac {22}{7}}$ (Архімэд)
${\frac {377}{120}}$ (пададзена ў кнізе індыйскага мысьляра і астранома Ар'ябхаты ў 5 стагодзьдзі)
${\frac {355}{113}}$ (ацэнка прыпісваецца сучасьніку Ар'ябхаты старажытнакітайскаму астраному Цзу чун-цжы)

Уласьцівасьці

Трансцэндэнтнасьць і ірацыянальнасьць

$\pi$ — ірацыянальны лік, то бок ягонае значэньне ня можа быць дакладна выражанае ў выглядзе дробу m/n, дзе m і n — цэлыя лікі. Адпаведна, яго дзесятковае прадстаўленьне ніколі ня скончваецца і не зьяўляецца пэрыядычным. ірацыянальнасьць ліку $\pi$ ўпершыню была даказаная Ёганам Лямбэртам у 1761 годзе^[3] шляхам раскладаньня ліку ${\frac {e-1}{2^{n}}}$ у непарыўны дроб. У 1794 годзе Лежандр прывёў больш строгі доказ ірацыянальнасьці лікаў $\pi$ і $\pi ^{2}$ .
$\pi$ $\pi$ — трансцэндэнтны лік, іншымі словамі, ён ня можа быць коранем якога-небудзь мнагаскладу з цэлымі каэфіцыентамі. Трансцэндэнтнасьць ліку $\pi$ $\pi$ была даказаная ў 1882 годзе прафэсарам Кёнігсбэрскага, а пазьней Мюнхэнскага ўнівэрсытэту Ліндэманам. Доказ спрасьціў Фэлікс Кляйн ў 1894 годзе.^[4]
- Паколькі ў геамэтрыі Эўкліда плошча круга і даўжыня акружыны зьяўляюцца функцыямі ліку $\pi$ , то доказ трансцэндэнтнасьці $\pi$ разьвязаў спрэчку пра квадратуру круга, якая цягнулася больш за 2,5 тысячы гадоў.
У 1934 годзе Аляксандар Гельфонд даказаў трансцэндэнтнасьць ліку $e^{\pi }$ .^[5] У 1996 годзе Юры Несьцярэнка даказаў, што для любога натуральнага n лікі $\pi$ і $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ альгебраічна незалежныя, адкуль, у прыватнасьці, вынікае трансцэндэнтнасьць лікаў $\pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }$ і $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ .^[6]^[7]

Стасункі

Вядома шмат формулаў ліку $\pi$ :

Франсуа Віет, 1593:

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots

Шэраг Ляйбніца:

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Тоеснасьць Ойлера:

e^{\pi i}+1=0\;

Спосабы вылічэньня

Архімэд, магчыма, першым прапанаваў спосаб вылічэньня $\pi$ матэматычным спосабам. Для гэтага ён упісваў у акружыну і акрэсьліваў вакол яе правільныя шматкутнікі. Прымаючы дыямэтар акружыны за адзінку, Архімэд разглядаў пэрымэтар умежанага шматкутніка як ніжнюю ацэнку даўжыні акружыны, а пэрымэтар акрэсьленага шматкутніка як верхнюю ацэнку. Так, для шасьцікутніка (глядзі малюнак) атрымоўваецца $3<\pi <2{\sqrt {3}}$ .

Разглядаючы правільны 96-кутнік, Архімэд атрымаў ацэнку $3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$ .

У Новы час для вылічэньня $\pi$ выкарыстоўваюцца аналітычныя мэтады, заснаваныя на тоеснасьцях. Пералічаныя вышэй формулы малапрыдатныя для вылічальных мэтаў, паколькі альбо карыстаюць павольна зьбежныя шэрагі, альбо патрабуюць складанай апэрацыі здабываньня квадратнага кораня.

Першую эфэктыўную формулу знайшоў у 1706 Джон Мэчын:

{\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}

Расклаўшы арктангенс у шэраг Тэйлара, можна атрымаць хутка зьбежны шэраг, прыдатны для вылічэньня ліку $\pi$ зь вялікай дакладнасьцю.

Яшчэ хутчэй працуюць альгарытмы, заснаваныя на формулах Рамануджана

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}\,396^{4k}}}

і Чудноўскага

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}\,640320^{3k+3/2}}}

У 1997 годзе Дэйвід Х. Бэйлі, Пітэр Боруэйн і Сайман Плуф вынайшлі^[8] спосаб хуткага вылічэньня адвольнай двайковай лічбы ліку $\pi$ без вылічэньня папярэдніх лічбаў, заснаваны на формуле

\pi =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4}{8i+1}}-{\frac {2}{8i+4}}-{\frac {1}{8i+5}}-{\frac {1}{8i+6}}\right)

Дадатковыя зьвесткі

Сусьветны рэкорд па запамінаньні знакаў ліку $\pi$ пасьля коскі належыць кітайцу Лю Чаа, які ў 2006 годзе на працягу 24 гадзінаў і 4 хвілінаў узнавіў 67 890 знакаў пасьля коскі без памылкі.^[9]^[10] У тым жа 2006 годзе японец Акіра Харагучы (Akira Haraguchi) заявіў, што запомніў лік $\pi$ да 100-тысячнага знаку пасьля коскі,^[11] аднак праверыць гэта афіцыйна не атрымалася.^[12]

Неафіцыйнае сьвята «Дзень ліка Пі» (па-ангельску: Pi Day) адзначаецца 14 сакавіка, якое ў амэрыканскім фармаце дат запісваецца як 3.14, што адпавядае набліжанаму значэньню ліку Пі.

Яшчэ адной датай, звязанай зь лікам Пі, зьяўляецца 22 ліпеня, якое завецца «Днём набліжанага ліку Пі» (па-ангельску: Pi Approximation Day), бо ў эўрапейскім фармаце дат гэты дзень запісваецца як 22/7, а значэньне гэтага дробу зьяўляецца набліжаным значэньнем ліку Пі.

У штаце Індыяна (ЗША) у 1897 годзе быў выпушчаны біль(en), які на заканадаўчым узроўні ўсталёўваў значэньне ліку Пі, роўным 3,2.^[13] Гэты біль ня стаў законам, дзякуючы своечасоваму ўмяшальніцтву прафэсара ўнівэрсытэта Пэрдзью, які прысутнічаў на заканадаўчым паседжаньні штату падчас разгледжаньня гэтага закону.
Цяпер лік $\pi$ вылічаны да 5 трыльёнаў знакаў пасьля коскі.^[14]

У культуры

Мазайка ля ўваходу ў Бэрлінскі тэхнічны ўнівэрсытэт з выявай π

Існуе мастацкі фільм, названы ў гонар ліку Пі. У стужцы значэньне й гісторыя гэтага ліку адсылаюць да рэлігійных тэмаў і магчымых сувязяў зь фінансавымі трэндамі.
У творы Сяргея Лук’яненкі «Спэктар» згадваюцца сусьветы, дзе Пі роўны 4.

Крыніцы

^ Comanor, Milton; Ralph P. Boas (1976). "Pi". In William D. Halsey. Collier's Encyclopedia. 19. New York: Macmillan Educational Corporation. pp. 21–22.
^ Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences (2009): "Jones was first to use π for the ratio (perimeter/diameter) of a circle, in 1706."
^ Lambert, Johann Heinrich. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, ст. 265–322.
^ Доказ Кляйна дададзены на працы «Пытаньні элемэнтарнай і вышэйшай матэматыкі», ч. 1, якая выйшла ў Гётынгене ў 1908 годзе.
^ Weisstein, Eric W. Пастаянная Гельфонда (анг.)
^ Weisstein, Eric W. Ірацыянальны лік (анг.)
^ Мадулярныя функцыі і пытаньні трансцэндэнтнасьці
^ http://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/BaileyBorweinPlouffe.pdf(недаступная спасылка)
^ Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi
^ Interview with Mr. Chao Lu
^ How can anyone remember 100,000 numbers? — The Japan Times, 17.12.2006.
^ Pi World Ranking List
^ The Indiana Pi Bill, 1897 (анг.)
^ 5 Trillion Digits of Pi - New World Record (анг.)

Вонкавыя спасылкі

Пі — сховішча мультымэдыйных матэрыялаў

Лік $\pi$ з дакладнасьцю да 4 мільёнаў знакаў пасьля коскі
Лік $\pi$ з дакладнасьцю да мільёну знакаў пасьля коскі
Зона ПІ на Кавуне
А.У. Жукаў, «Пра лік π». М.: МЦМНО, 2002 г., 32 з. ISBN 5-94057-030-5

[collier-1] Comanor, Milton; Ralph P. Boas (1976). "Pi". In William D. Halsey. Collier's Encyclopedia. 19. New York: Macmillan Educational Corporation. pp. 21–22.

[2] Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences (2009): "Jones was first to use π for the ratio (perimeter/diameter) of a circle, in 1706."

[3] Lambert, Johann Heinrich. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, ст. 265–322.

[4] Доказ Кляйна дададзены на працы «Пытаньні элемэнтарнай і вышэйшай матэматыкі», ч. 1, якая выйшла ў Гётынгене ў 1908 годзе.

[5] Weisstein, Eric W. Пастаянная Гельфонда (анг.)

[6] Weisstein, Eric W. Ірацыянальны лік (анг.)

[7] Мадулярныя функцыі і пытаньні трансцэндэнтнасьці

[8] ttp://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/BaileyBorweinPlouffe.pdf(недаступная спасылка)

[9] Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi

[10] Interview with Mr. Chao Lu

[11] How can anyone remember 100,000 numbers? — The Japan Times, 17.12.2006.

[12] Pi World Ranking List

[13] The Indiana Pi Bill, 1897 (анг.)

[14] 5 Trillion Digits of Pi - New World Record (анг.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]