Натуральны лік: розьніца паміж вэрсіямі
д робат дадаў: jv:Angka asli |
д робат зьмяніў: uk:Натуральні числа |
||
Радок 63: | Радок 63: | ||
[[af:Natuurlike getal]] |
[[af:Natuurlike getal]] |
||
⚫ | |||
[[an:Numero natural]] |
[[an:Numero natural]] |
||
⚫ | |||
[[az:Natural ədədlər]] |
[[az:Natural ədədlər]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[be:Натуральны лік]] |
[[be:Натуральны лік]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[bg:Естествено число]] |
[[bg:Естествено число]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[ca:Nombre natural]] |
[[ca:Nombre natural]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[cv:Пурлăх хисепĕ]] |
[[cv:Пурлăх хисепĕ]] |
||
⚫ | |||
[[cy:Rhif naturiol]] |
[[cy:Rhif naturiol]] |
||
[[da:Naturligt tal]] |
[[da:Naturligt tal]] |
||
[[de:Natürliche Zahl]] |
[[de:Natürliche Zahl]] |
||
[[et:Naturaalarv]] |
|||
[[el:Φυσικός αριθμός]] |
[[el:Φυσικός αριθμός]] |
||
[[eml:Nómmer naturèl]] |
[[eml:Nómmer naturèl]] |
||
[[en:Natural number]] |
[[en:Natural number]] |
||
[[eo:Natura nombro]] |
|||
[[es:Número natural]] |
[[es:Número natural]] |
||
[[ |
[[eo:Natura nombro]] |
||
[[eu:Zenbaki arrunt]] |
[[eu:Zenbaki arrunt]] |
||
[[fa:اعداد طبیعی]] |
[[fa:اعداد طبیعی]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[fo:Teljital]] |
[[fo:Teljital]] |
||
[[fr:Entier naturel]] |
[[fr:Entier naturel]] |
||
[[ga:Uimhreacha aiceanta]] |
[[ga:Uimhreacha aiceanta]] |
||
⚫ | |||
[[gan:自然數]] |
[[gan:自然數]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[ |
[[ko:자연수]] |
||
⚫ | |||
[[hsb:Přirodna ličba]] |
[[hsb:Přirodna ličba]] |
||
[[ |
[[hr:Prirodni broj]] |
||
⚫ | |||
[[id:Bilangan asli]] |
[[id:Bilangan asli]] |
||
⚫ | |||
[[is:Náttúrlegar tölur]] |
[[is:Náttúrlegar tölur]] |
||
[[it:Numero naturale]] |
[[it:Numero naturale]] |
||
[[ |
[[he:מספר טבעי]] |
||
⚫ | |||
[[jv:Angka asli]] |
[[jv:Angka asli]] |
||
⚫ | |||
[[ka:ნატურალური რიცხვი]] |
[[ka:ნატურალური რიცხვი]] |
||
[[kk:Дағдылы сан]] |
[[kk:Дағдылы сан]] |
||
⚫ | |||
[[ko:자연수]] |
|||
[[ku:Hejmarên xwezayî]] |
[[ku:Hejmarên xwezayî]] |
||
⚫ | |||
[[la:Numerus naturalis]] |
[[la:Numerus naturalis]] |
||
⚫ | |||
[[lb:Natierlech Zuel]] |
[[lb:Natierlech Zuel]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[lmo:Nümar natüraal]] |
[[lmo:Nümar natüraal]] |
||
[[hu:Természetes számok]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[mk:Природен број]] |
[[mk:Природен број]] |
||
[[ml:എണ്ണൽ സംഖ്യ]] |
[[ml:എണ്ണൽ സംഖ്യ]] |
||
⚫ | |||
[[mn:Натурал тоо]] |
[[mn:Натурал тоо]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[nl:Natuurlijk getal]] |
[[nl:Natuurlijk getal]] |
||
⚫ | |||
[[nn:Naturleg tal]] |
|||
⚫ | |||
[[no:Naturlig tall]] |
[[no:Naturlig tall]] |
||
[[ |
[[nn:Naturleg tal]] |
||
⚫ | |||
[[pms:Nùmer natural]] |
[[pms:Nùmer natural]] |
||
⚫ | |||
[[pl:Liczby naturalne]] |
|||
[[pt:Número natural]] |
[[pt:Número natural]] |
||
[[ro:Număr natural]] |
[[ro:Număr natural]] |
||
[[ru:Натуральное число]] |
[[ru:Натуральное число]] |
||
[[sc:Nùmeru naturale]] |
[[sc:Nùmeru naturale]] |
||
⚫ | |||
[[scn:Nùmmuru naturali]] |
[[scn:Nùmmuru naturali]] |
||
[[sh:Prirodan broj]] |
|||
[[simple:Natural number]] |
[[simple:Natural number]] |
||
[[sk:Množina prirodzených čísel]] |
[[sk:Množina prirodzených čísel]] |
||
[[sl:Naravno število]] |
[[sl:Naravno število]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[sr:Природан број]] |
[[sr:Природан број]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[sv:Naturliga tal]] |
[[sv:Naturliga tal]] |
||
⚫ | |||
[[ta:இயல் எண்]] |
[[ta:இயல் எண்]] |
||
[[te:సహజ సంఖ్య]] |
[[te:సహజ సంఖ్య]] |
||
⚫ | |||
[[th:จำนวนธรรมชาติ]] |
[[th:จำนวนธรรมชาติ]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[tr:Doğal sayılar]] |
[[tr:Doğal sayılar]] |
||
[[uk: |
[[uk:Натуральні числа]] |
||
[[ur:قدرتی عدد]] |
[[ur:قدرتی عدد]] |
||
⚫ | |||
[[vi:Số tự nhiên]] |
[[vi:Số tự nhiên]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[vls:Natuurlik getal]] |
[[vls:Natuurlik getal]] |
||
[[war:Natural nga ihap]] |
[[war:Natural nga ihap]] |
||
⚫ | |||
[[yi:נאטירלעכע צאל]] |
[[yi:נאטירלעכע צאל]] |
||
[[yo:Nọ́mbà àdábáyé]] |
[[yo:Nọ́mbà àdábáyé]] |
||
[[zh-yue:自然數]] |
|||
⚫ | |||
[[zh:自然数]] |
[[zh:自然数]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ |
Вэрсія ад 08:52, 1 жніўня 2010
Натуральныя лікі - гэта элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4...}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.
У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г.зв. "пашыраны натуральны шэраг" {0, 1, 2, 3, 4...}.
Гісторыя
Патрэбнасьць у натуральных лікаў узьнікла пры лічэньні прадметаў. Перш гэта было два прадмета - па аднаму ў руках, тры - трэці клалі ў ног, пяць - па колькасьці пальцаў, потым дзесяць і двадцаць. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноства" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае уяўленьне ліку.
У Старажытнай Грэцыі лікамі называлі толькі натуральныя лікі (як мноства адзінак) да 3 стагодзьдзя.
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.
У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.
Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэаны
Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства , у якім для нейкіх элемэнтаў і існуе адносіна " накіроўваецца за (пазначаецца як ) і задавальняе наступным аксіёмам:
- існуе 1, якое ня накіроўваецца ні за адным элемэнтам,
- для любога існуе , якое накіроўваецца за ім, пры чым толькі адно,
- любой элемэнт накіроўваецца ня больш чым за аднім элемэнтам,
- любое мноства з уласьцівасьцямі
- 1 прыналежыць ,
- калі прыналежыць , то і прыналежыць
- супадае з (аксіёма індукцыі)
На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.
Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне
Пашыраны натуральны рад можна ўвесьці як магутнасьць канчаткована мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут адзначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:
- 0 = { }
- 1 = {0} = {{ }}
- 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
- 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
- n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}
Уласьцівасьці
Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).
Літаратура
- Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич
Гэта — накід артыкула па матэматыцы. Вы можаце дапамагчы Вікіпэдыі, пашырыўшы яго. |