Складаньне
Складаньне — бінарная апэрацыя, якая дазваляе аб’яднаць два аб’екты.
Апэрацыя складаньня звычайна пазначаецца знакам + (плюс). У асобных разьдзелах матэматыкі складаньне таксама пазначаецца іншымі спэцыфічнымі для гэтага абсягу сымбалямі (, , , і г.д.)
Апэранды апэрацыі складаньня завуцца складнікамі, вынік — сумай. Адваротная да складаньня апэрацыя завецца адыманьнем.
Агульныя ўласьцівасьці апэрацыі складаньня
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Любую бінарную апэрацыя, яка задавальняе наступным умовам у матэматыцы можна назваць складаньнем:
- Ад перастаноўкі складнікаў сума не зьмяняецца.
Азначэньне складаньня
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Складаньне натуральных лікаў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Для таго, каб да натуральнага ліку m дадаць натуральны лік n трэба павялічыць лік m на адзінку n разоў.
Напрыклад,
- 5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9
Альгарытм складаньня шматзначных натуральных лікаў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Cкладаньне шматзначных лікаў у пазыцыйнай сыстэме лічэньня можна зьвесці да складаньня адназначных лікаў шляхам паразраднага складаньня зь пераносам, гэта значыць складаньня аднолькавых разрадаў складнікаў як асобных лікаў. Вынік складаньня разрадаў будзе значэньнем гэтага ж разраду сумы; калі ж сума разрадаў складае двухзначны лік, то бярэцца малодшы разрад, а старэйшы пераносіцца ў наступны (па нумары) разрад, гэта значыць дадаецца да сумы наступных разрадаў.
Такім чынам, складаньне шматзначных лікаў зьдзяйсьняецца паводле наступнага альгарытму:
- Скласьці наймалодшыя разрады (адзінкі). Калі вынік складаньня не перавышае 9, гэта складзе наймалодшы разрад сумы. Калі ж вынікам складаньня атрымаўся двухзначны лік, то другая (наймалодшая) лічба вызначае колькасьць адзінак у суме, а першая пераносіцца ў старэйшы разрад (дзясяткі).
- Скласьці наступныя разрады (дзясяткі); калі быў перанос з папярэдняга разраду, дадаць яго да сумы. Вызначыць другую лічбу сумы, а таксама неабходнасьць пераносу гэтак жа, як і першага разраду (п.1);
- Паўтараць п.2, рухаючыся ад малодшых разрадаў да старэйшых (справа налева), пакуль ня будуць складзеныя ўсе разрады складнікаў.
Калі разраднасьць складнікаў не супадае, то ў разрадах меншага складніка, якіх не хапае, ставяцца нулі.
Пры ручным складаньні лікі для зручнасьці запісваюць адзін пад адным, так, каб аднолькавыя разрады апынуліся ў адным слупку. Адзінку, якая пераносіцца ў старэйшы разрад, запісваюць над першым складнікам або проста запамінаюць.
Напрыклад,
1 | 1 | 1 | 1 | ||||
+ | 9 | 7 | 5 | 2 | 6 | 3 | 4 |
4 | 5 | 4 | 1 | 8 | 2 | ||
1 | 0 | 2 | 0 | 6 | 8 | 1 | 6 |
Такое складаньне завецца складаньнем «у слупок». Гэтак жа можна скласьці тры ці болей лікаў. У такім выпадку пераносіцца ў наступны разрад можа ня толькі 1, а і большы лік. Напрыклад,
1 | 2 | 1 | 3 | |
+ | 5 | 7 | 0 | 8 |
1 | 7 | |||
6 | 5 | 7 | ||
7 | 6 | 6 | 9 | |
1 | 4 | 0 | 3 | 1 |
Складаньне цэлых лікаў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Складаньне дадатных цэлых лікаў аналягічнае складаньню натуральных лікаў.
Калі сярод складнікаў прысутнічаюць адмоўныя лікі, складаньне можна зьвесьці да складаньня або адыманьня дадатных лікаў. Менавіта,
- каб скласьці два адмоўныя лікі, трэба скласьці іх модулі; вынік узяць са знакам «мінус»
- каб скласьці дадатны лік з адмоўным, трэба ад модуля большага (па модулі) ліку адняць модуль меншага; вынік узяць са знакам ліку, што мае большы модуль.
Напрыклад,
- −22 + (−17) = −(22 + 17) = −39
- −14 + 40 = 40 −14 = 26
- 23 + (−27) = −(27 − 23) = −4
Гэтыя правілы вынікаюць з таго, што сума супрацьлеглых лікаў складае нуль:
- a + (−a) = 0
Таму
- a + b = a + b − 0 = a + b − (b + (−b)) = a −(−b).
Гэта значыць, складаньне можна замяніць адыманьнем, зьмяніўшы знак другога складніка на супрацьлеглы. І наадварот, адыманьне можна замяніць складаньнем, зьмяніўшы на супрацьлеглы знак аднімніка.
Складаньне ліку 0 (нуль) зь любым іншым цэлым лікам не зьмяняе яго. Напрыклад,
- 5 + 0 = 5
Складаньне рацыянальных лікаў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Для складаньня рацыянальных лікаў перш за ўсё неабходна прывсьці іх да агульнага назоўніка, а потым скласьці зь лічнікам, беручы агульны назоўнік за назоўнік сумы.
Напрыклад,
Складаньне ірацыянальных лікаў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Кожны ірацыянальны лік зьяўляецца мяжой пэўнай пасьлядоўнасці рацыянальных набліжэньняў. Калі ірацыянальны лік , а ірацыянальны лік , то
Складаньне камплексных лікаў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Пры складаньни камплексных лікаў асобна складаюцца рэчаісная і зданьнёвая часткі
або
Складаньне вэктараў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Для складаньня вэктараў, азначаных у вэктарнай прасторы з базісам неабходна скласьці іх кампанэнты
Складаньне матрыц
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Можна складаць матрыцы, якія маюць аднолькавую колькасьць радкоў і слупкоў. Сума такіх матрыц мае тую ж самую колькасьць радкоў і слупкоў, а кожны элемэнт матрыцы сумы зьяўляецца сумай элемэнтаў матрыц-складнікаў. Напрыклад,
Складаньне мностваў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Для мностваў апэрацыя аб'яднання задавальняе патрабаваньням камутатыўнасьці і асацыятыўнасьці, а таму зьяўляецца аналягам cкладаньня.
Складаньне элемэнтаў групаў
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Увогуле, групавыя апэрацыі ня маюць ўласцівасьці асацыятыўнасьці. Групы, для якіх групавая апэрацыя камутатыўная, завуцца абэлевымі. Сярод абэлевых групаў вылучаюць адытыўная, у якіх групавую апэрацыю завуць складаньнем. Прыкладам такой групы можа быць група паваротаў гадзіннай стрэлкі.
Складаньне ў матэматычнай лёгіцы
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]- Асноўны артыкул: Булева альгебра
У матэматычнай лёгіцы складаньню адпавядае апэрацыя АБО. Вынік гэтай апэрацыі ІСЬЦІНА калі хаця б адзін з апэрандаў мае значэньне ісьціны.
Апэрацыя складаньня ў булевай альгебры пазначаецца сымбалем .
Лёгіка
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Складаньне (лёгіка) гэта карэктная, простая форма аргумэнтацыі ў лёгіцы:
- A.
- Такім чынам, A або B.
або ў лёгіка-апэратарнай натацыі:
Аргумэнт мае адну зыходную здагадку A. З праўдзівасьці A вынікае, што A або B зьяўляецца ісьцінай.
Арытмэтычныя апэрацыі | ||||||||||||
|