Тэорыя мностваў

Тэо́рыя мно́стваў — матэматычная тэорыя, якая дасьледуе мноства, апэрацыі і адноснасьці над імі. Дасьледаваньне зьдзяйсьняецца ў межах пэўнай альгебры мностваў, якая зьяўляецца матэматычнай мадэльлю аксыяматычнай тэорыі мностваў, і можа мець зьмястоўную ці фармальную накіраванасьць.

Сучасныя дасьледаваньні тэорыі мностваў была пачаты Георгам Кантарам і Рыхардам Дэдэкіндам у 1870-х гадах. Пасьля адкрыцьця парадоксаў наіўнай тэорыі мностваў, у пачатку XX стагодзьдзя былі прапанаваны шматлікія сыстэмы аксыёмаў, сярод якіх самай вядомай зьяўляецца сыстэма Цэрмэля-Фрэнкеля, з аксыёмай выбару. Тэорыя мностваў разглядаецца як базіс матэматыкі.

Наіўная тэорыя мностваў

Да другой паловы XIX стагодзьдзя панятак «мноства» не разглядаўся як матэматычны («мноства кніг на паліцы», «мноства чалавечых цнотаў» і г. д. — усё гэта асабліва бытавыя абароты). Палажэньне зьмянілася, калі нямецкі матэматык Георг Кантар распрацаваў сваю праграму стандартызацыі матэматыкі, у рамках якой любы матэматычны аб’ект павінен быць у тым ці іншым «мноствам»^[1]^[2]. Напрыклад, натуральны лік з пазыцыі Кантара варта разглядаць як мноства, якое складаецца з адзінага элемэнта іншага мноства, званага «натуральным шэрагам», які, у сваю чаргу, сам зьяўляецца мноствам, бо задавальняе гэтак званую аксыёму Пеано. Пры гэтым агульнаму панятку «мноства», які разглядаўся ім як цэнтральнае для матэматыкі, Кантар даваў вельмі размытыя вызначэньні, накшталт «мноства ёсьць многае, памыснае як адзінае», і г. д. Гэта цалкам адпавядала намеру самога Кантара, які падкрэслена называў сваю праграму не «тэорыяй мностваў», сам гэты тэрмін зьявіўся шмат пазьней, а «вучэньнем аб мноствах» (ням. Mengenlehre).

Праграма Кантара выклікала рэзкія пратэсты з боку шматлікіх ягоных сучасьнікаў-матэматыкаў. Асабліва вылучаўся сваім непрымірымым да яе стаўленьнем Леапольд Кронэкер, які лічыў, што матэматычнымі аб’ектамі могуць лічыцца толькі натуральныя лікі й тое, што да іх непасрэдна зводзіцца, вядомая ягоная фраза пра тое, што «Бог стварыў натуральныя лікі, а ўсё астатняе — справа рук чалавечых». Цалкам адкінулі тэорыю мностваў і такія аўтарытэтныя матэматыкі, як Герман Шварц і Анры Пуанкарэ. Аднак, некаторыя іншыя матэматыкі — у прыватнасьці, Готляб Фрэге, Рыхард Дэдэкінд і Давід Гільбэрт — падтрымалі Кантара ў ягоным намеры перавесьці ўсю матэматыку на тэарэтыка-множную мову. У прыватнасьці, тэорыя мностваў стала асновай: тэорыі меры, тапалёгіі, функцыянальнага аналізу.

Аднак неўзабаве высьветлілася, што кірунак Кантара на адсутнасьць абмежаваньняў пры апэрацыях з мноствамі (выяўленае ім самім у прынцыпе «сутнасьць матэматыкі заключаецца ў ейнай свабодзе») недасканалая першапачаткова, а менавіта, быў знойдзены шэраг тэарэтыка-множных антыноміяў: апынулася, што пры выкарыстаньні тэарэтыка-множных уяўленьняў некаторыя сьцьвярджэньні могуць быць даказаны разам са сваімі пярэчаньнямі, а тады, згодна з правіламі клясычнай лёгікі выказваньняў, можа быць «даказана» абсалютна любое сьцьвярджэньне. Антыноміі адзначылі сабой поўны правал праграмы Кантара.

Глядзіце таксама

Крыніцы

^ G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal f. Mathematik 77 (1874) 258 - 262.
^ Philip Johnson, 1972, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0-87150-154-6

Вонкавыя спасылкі

Электронны падручнік па тэме «Тэорыя мностваў. Камбінаторыка»

Гэта — накід артыкула па матэматыцы. Вы можаце дапамагчы Вікіпэдыі, пашырыўшы яго.

[1] G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal f. Mathematik 77 (1874) 258 - 262.

[2] Philip Johnson, 1972, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0-87150-154-6

[1]

[2]