Раўнаньні Максўэла

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да навігацыі Перайсьці да пошуку
Клясычная электрадынаміка
Магнітныя лініі ў саленоідзе
Электрычнасьць · Магнэтызм

Раўнаньні Максўэла — сыстэма дыфэрэнцыйных раўнаньняў, якія апісваюць электрамагнітнае поле і ягоную сувязь з электрычнымі зарадамі і токамі. Раўнаньні былі сфармуляваныя Джэймзам Кларкам Максўэлам у XIX стагодзьдзі на падставе накопленых экспэрымэнтальных дадзеных. Адыгралі важную ролю ў зьяўленьні спэцыяльнае тэорыі адноснасьці.

Агульнае апісаньне[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Раўнаньні Максўэла апісваюць, якім чынам электрамагнітнае поле ствараецца электрычнымі зарадамі і токамі і якім чынам зьменныя электрычнае і магнітнае палі спараджаюць адно адно. Раўнаньні Максўэла зьяўляюцца каварыянтнымі, гэта значыць задавальняюць прынцыпам спэцыяльнай тэорыі адноснасьці. Іх можна запісаць у яўна каварыянтнай чатырохвымернай, альбо ў трохвымернай форме. У першым выпадку атрымліваюцца два чатырохвымерныя раўнаньні, у другім чатыры пары эквівалентных ім раўнаньняў (два вэктарныя і два скалярныя).

Закон Гаўса[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Асноўны артыкул: тэарэма Гаўса

Закон Гаўса апісвае, якім чынам электрычныя зарады спараджаюць электрычнае поле: ён дае сувязь паміж струмянём вэктару напружанасьці (для палёў у рэчыве — індукцыі) электрычнага поля праз замкнёную паверхню і поўным электрычным зарадам, які яна атачае. Фармулюецца наступным чынам:

струмень вэктару напружанасьці (для палёў у рэчыве — індукцыі) электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе памераў і формы, а вызначаецца толькі поўным зарадам, зьмешчаным у аб'ёме, які гэтая паверхня атачае (прапарцыйны яму).

Адным з вынікаў закону Гаўса зьяўляецца закон Кулёна, які апісвае поле кропкавага зараду. Хаця ён і быў адкрыты першым, аднак менавіта закон Гаўса належыць да фундамэнтальных законаў электрадынамікі (паколькі дзейнічае як для нерухомых, так і для рухомых зарадаў і ўваходзіць у сыстэму раўнаньняў Максўэла, якія ў сваю чаргу альбо зьяўляюцца пастулятамі электрадынамікі, атрыманымі шляхам абагульненьня экспэрымэнтальных дадзеных, альбо выводзяцца з больш агульных прынцыпаў).

Закон Гаўса для магнітнага поля[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Гэты закон сьцьвярджае, што няма магнітных зарадаў, аналягічных элетрычным. Фармулюецца наступным чынам:

струмень магнітнага поля празь любую замкнёную паверхню роўны нулю.

Закон індукцыі Фарадэя[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Асноўны артыкул: закон Фарадэя

Закон індукцыі Фарадэя апісвае, якім чынам зьмяненьне магнітнага поля спараджае электрычнае поле:

цыркуляцыя вэктара напружанасьці электрычнага поля па замкнёным контуры прапарцыйная хуткасьці зьмяненьня напружанасьці магнітнага поля, якое пранізвае гэты контур (прычым каэфіцыент прапарцыйнасьці адмоўны).

Тэарэма пра цыркуляцыю магнітнага поля[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Асноўны артыкул: закон Ампэра

Гэтае раўнаньне апісвае, якім чынам ток і зьмяненьне электрычнага поля спараджаюць магнітнае поле:

цыркуляцыя магнітнага поля па замкнёным контуры прапарцыйная суме токаў, якія пранізваюць гэты контур (з улікам току зруху, то бок зьмяненьня электрычнага поля).

Гісторыя[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Сыстэмы адзінак вымярэньня і разьмерныя канстанты[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Значэньні разьмерных каэфіцыентаў, якія ўваходзяць у раўнаньні Максўэла залежаць ад выбранай сыстэмы адзінак вымярэньня. На сёньняшні дзень найбольш распаўсюджанымі зьяўляюцца дзьве: сымэтрычная Гаўсава сыстэма (СГС) і СІ. У першай адзінкі вымярэньня ўсіх палёў маюць аднолькавую разьмернасьць, а раўнаньні маюць больш просты і натуральны выгляд, другая больш распаўсюджаная на практыцы (у тым ліку ў інжынэрных разьліках). У Гаўсавай сыстэме адзінак у раўнаньнях фігуруе адна разьмерная канстанта:

У сыстэме СІ ў раўнаньні ўваходзяць тры канстанты:

  • хуткасьць сьвятла ў вакуўме м/с;
  • магнітная канстанта Гн/м;
  • электрычная канстанта Ф/м.

У сыстэме СІ ўводзяць таксама «хвалявае супраціўленьне» альбо «імпэданс» вакуўму:

Ом.

У сыстэме СГС .

Раўнаньні Максўэла ў вакуўме [1] (раўнаньні Максўэла для мікрапалёў)[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

У вакуўме ў трохвымерным дыфэрэнцыйным выглядзе раўнаньні Максўэла маюць наступны выгляд (сыстэма СГС):

Выкарыстаныя наступныя абазначэньні:

  •  — шчыльнасьць электрычнага зараду;
  • — шчыльнасьць электрычнага току;
  • — хуткасьць сьвятла ў вакуўме;
  •  — напружанасьць электрычнага поля;
  •  — напружанасьць магнітнага поля.

Раўнаньні Максўэла ў рэчыве (раўнаньні Максўэла для макрапалёў) [2][рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

У сыстэме СГС у трохвымерным дыфэрэнцыйным выглядзе раўнаньні Максўэла запісваюцца наступным чынам:

,

,

,

.

Выкарыстаныя наступныя абазначэньні:

  •  — электрычная індукцыя;
  •  — магнітная індукцыя.

Выкарыстаўшы формулу Астраградзкага-Гаўса і формулу Стокса можна запісаць раўнаньні Максўэла ў інтэгральным выглядзе:

,

,

,

,

дзе

  • — двухвымерная замкнёная для двух першых раўнаньняў і адкрытая для двух апошніх паверхня (яе мяжой зьяўляецца замкнёны контур );
  • ;
  • .

Каварыянтная форма раўнаньняў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

У каварыянтнай форме раўнаньні Максўэла можна запісаць пры дапамозе тэнзара электрамагнітнага поля. У сыстэме СГС гэты тэнзар выглядае наступным чынам:

А раўнаньні маюць такі выгляд:

дзе

— дуальны тэнзар электрамагнітнага поля.

Патэнцыял[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Вывад раўнаньняў Максўэла[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Раўнаньні Максўэла ў скрыўленым прастора-часе[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Крыніцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. ^ Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 2. — С. 98. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4
  2. ^ Сівухін Д.В. Общий курс физики. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — Т. 3. — С. 336. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3