Арытмэтыка

Арытмэ́тыка (па-старажытнагрэцку: ἀριθμητική ад стар.-грэц. ἀριθμός — «лік») — найстарэйшая ды найпрасьцейшая галіна матэматыкі. Ужываецца як ў навуковых падліках, так і ў штодзённым побыце. Вывучае найпрасьцейшыя лікі ды найпрасьцейшыя апэрацыі над лікамі. У агульным выкарыстаньні, яна ставіцца да простых уласьцівасьцях пры выкарыстаньні традыцыйных апэрацыяў складаньня, адыманьня, множаньня й дзяленьня зь невялікімі значэньнямі лікаў. Некаторыя сучасныя навукоўцы ўсьлед за Гаўсам адносяць да арытмэтыцы больш складаныя аспэкты^[1], у тым ліку камлексныя лікі і лягарытмаваньне. Вывучэньнем індывідуальных уласьцівасьцяў цэлых лікаў займаецца вышэйшая арытмэтыка, або тэорыя лікаў. Тэарэтычная арытмэтыка займаецца на вызначэньні й аналізе панятку ліку^[2], у той час як фармальная арытмэтыка апэруе лягічнымі пабудовамі прэдыкатаў і аксіёмаў арытмэтыцы^[3]. Арытмэтыка зьяўляецца адной з асноўных матэматычных навук, яна цесна зьвязана з альгебрай і тэорыяй лікаў.

Прычынай узьнікненьня арытмэтыкі сталася практычная патрэба ў падліку, найпростых вымярэньнях і вылічэньнях. Навука разьвівалася разам з ускладненьнем задачаў і патрабаваньняў. Вялікі ўнёсак у разьвіцьцё арытмэтыкі зрабілі старажытнагрэцкія матэматыкі, у прыватнасьці пітагарэйцы, якія спрабавалі з дапамогай лікаў вызначыць усе заканамернасьці сьвету. У Індыі зьявілася дзесятковая пазыцыйны сыстэма зьлічэньня, якая дзякуючы матэматыкам Усходу распаўсюдзілася па сьвеце, у прыватнасьці ў Эўропе й Паўночнай Афрыцы. Зьяўленьнем дзесятковых дробаў сьвет абавязаны арабскаму навукоўцу Джамшыду аль-Кашы, які даў вызначэньне дробам і правілы апэрацыяў на імі ў пачатку XV стагодзьдзя. Многія пакаленьні навукоўцаў спрабавалі пабудаваць тэарэтычнае абгрунтаваньне арытмэтыкі, сыстэму аксіёмаў і правілаў арытмэтычных дзеяньняў. Сучасную аксіёматычную пабудову прывёў Джузэпэ Пеяно ў XIX стагодзьдзі. Несупярэчлівасьць дадзенай фармальнай пабудовы арытмэтыкі была паказана Гергартам Генцэнам ў 1936 годзе.

Арытмэтыка зьяўляецца адным зь сямі свабодных мастацтваў, гэта значыць навучальных навук, годных вольнага чалавека, і якія не патрабуюць фізычнай працы.

Гісторыя

З пункту гледжаньня Ёсіфа Флявіюса Аўраам быў першы, хто навучыў эгіпцянаў арытмэтыцы й астраноміі. На думку Плятона й Дыягена Ляэртцкага вылічальнае мастацтва быў паслана эгіпцянам ад бога Тэўта, або Тота. Першыя дакладныя зьвесткі аб узроўні арытмэтыкі былі атрыманы з Бабілёна й Старажытнага Эгіпта й ставяцца да II—III тысячагодзьдзя да н. э.

Старажытныя тэксты й сыстэмы зьлічэньня

Матэматычныя папірусы Старажытнага Эгіпта былі складзеныя для навучальных мэтаў, яны ўтрымлівалі задачы з рашэньнямі, дапаможныя табліцы й правілы дзеяньняў над цэлымі лікамі й дробамі, сустракаюцца арытмэтычныя й геамэтрычныя прагрэсіі, а таксама раўнаньні. Эгіпцяне карысталіся дзесятковай сыстэмай зьлічэньня. Эгіпецкія матэматычныя тэксты асаблівую ўвагу надавалі вылічэньням і ўзьнікаючым пры гэтым цяжкасьцяў, ад якіх шмат у чым залежаць мэтады рашэньня задачаў. Эгіпцяне выкарыстоўвалі такія арытмэтычныя апэрацыі як складаньне, падваеньне й дадатак дробу да адзінкі. Любое множаньне на цэлы лік і дзяленьне без астатку праводзілася з дапамогай шматразовага паўтарэньня апэрацыі падваеньня, што прыводзіла да грувасткіх вылічэньняў, у якіх удзельнічалі пэўныя чальцы пасьлядоўнасьці $1,2,4,8,16,...$ . У Старажытным Эгіпце знайшлі прымяненьне толькі аліквотныя дробы, або долі адзінкі ( $1/n$ ), а ўсе астатнія дробы раскладаліся на суму аліквотных. Пры вызначэньні плошчы квадрата, аб'ёму куба, або знаходжаньні боку квадрата паводле ягонай плошчы эгіпцяне сутыкаліся з узьвядзеньнем у ступень і атрыманьнем кораня, хоць назвы гэтых апэрацыяў яшчэ не было.

Бабілёнскія клінапісныя матэматычныя тэксты выкарыстоўвалі шасьцідзесятковую сыстэму зьлічэньня, характэрную яшчэ для шумэраў, і ўяўлялі сабой навучальныя дапаможнікі, якія ўключалі табліцы множаньня для лікаў ад $1$ да $59$ , а таксама табліцы зваротных лікаў, табліцы квадратаў і кубоў лікаў натуральнага шэрагу, табліцы вылічэньняў адсоткаў, дробу з падставай $60$ . Пры вырашэньні арытмэтычных задачаў бабілёнцы абапіраліся на прапорцыі й прагрэсіі. Яны ведалі формулу сумы $n$ чальцоў арытмэтычнай прагрэсіі, правілы для сумаваньня геамэтрычнай прагрэсіі, вырашалі задачы на адсоткі. У Бабілёне ведалі мноства пітагоравых троек, для пошуку якіх, верагодна, карысталіся невядомым агульным прыёмам. У цэлым, задача знаходжаньня цэлых і рацыянальных рашэньняў раўнаньня $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ ставіцца да тэорыі лікаў. Геамэтрычныя задачы прывялі да неабходнасьці набліжанага здабываньня квадратных каранёў, якое яны выконвалі выкарыстоўваючы правіла ${\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2a}}$ .

Старажытныя грэцкія матэматычныя тэксты адносяцца да XIV—VII стагодзьдзя да н. э. Апалоніюс Пэргаўскі напісаў кнігу «Акітакнон» аб вылічэньнях, якая не дайшла да нашага часу. Першапачаткова грэкі карысталіся атычнай нумарацыяй, якую з часам замяніла кампактная літарная, або іянічная. Разьвіцьцё старажытнагрэцкай арытмэтыкі належыць пітагарэйскай школе. Пітагарэйцы лічылі спачатку, што стаўленьне любых двух адрэзкаў можна выказаць праз стаўленьне цэлых лікаў, гэта значыць геамэтрыя ўяўляла сабой арытмэтыку рацыянальных лікаў. Яны разглядалі толькі цэлыя станоўчыя лікі й вызначалі колькасьць як сход адзінак. Вывучаючы ўласьцівасьці лікаў, яны разьбілі іх на цотныя й няцотныя, паводле прыкмеце дзялімасьці на 2, простыя і складовыя, знайшлі бясконцае мноства пітагоравых троек. У 399 годзе да н. э. зьявілася агульная тэорыя дзялімасьці, якая належыць, відаць, Тээтэту Атэнскаму, вучню Сакрата. Эўклід прысьвяціў ёй кнігу VII і частку кнігі IX сваёй працы «Элемэнтаў». У аснове тэорыі ляжыць альгарытм Эўкліда для знаходжаньня агульнага найбольшага дзельніка двух лікаў. Сьледзтвам альгарытму зьяўляецца магчымасьць раскладаньня любога ліку на простыя сумножнікі, а таксама адзінасьць такога раскладаньня. Закон адназначнасьці раскладаньня на простыя множнікі зьяўляецца асновай арытмэтыкі цэлых лікаў.

Найпрасьцейшыя арытмэтычныя апэрацыі

Крыніцы

^ «Arithmetic». C.C. MacDuffee. Encyclopædia Britannica.
^ «Арифметика». Большая советская энциклопедия
^ «Формальная арифметика». Большая советская энциклопедия

Вонкавыя спасылкі

Alexander Bogomolny. Што такое арытмэтыка = What Is Arithmetic? (анг.)
Арытмэтыка на MathWorld
Арытмэтычныя гульні для дзяцей і дарослых

[1] «Arithmetic». C.C. MacDuffee. Encyclopædia Britannica.

[2] «Арифметика». Большая советская энциклопедия

[3] «Формальная арифметика». Большая советская энциклопедия

[1]

[2]

[3]