Натуральны лік: розьніца паміж вэрсіямі
д r2.7.3) (робат зьмяніў fa:اعداد طبیعی на fa:عدد طبیعی |
д Bot: Migrating 107 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q21199 (translate me) |
||
Радок 67: | Радок 67: | ||
{{Link FA|lmo}} |
{{Link FA|lmo}} |
||
[[af:Natuurlike getal]] |
|||
[[als:Natürliche Zahl]] |
|||
[[am:የተፈጥሮ ቁጥር (ናቹራል ነምበር)]] |
|||
[[ar:عدد طبيعي]] |
|||
[[an:Numero natural]] |
|||
[[as:স্বাভাৱিক সংখ্যা]] |
|||
[[az:Natural ədədlər]] |
|||
[[bn:স্বাভাবিক সংখ্যা]] |
|||
[[zh-min-nan:Chū-jiân-sò͘]] |
|||
[[be:Натуральны лік]] |
|||
[[bg:Естествено число]] |
|||
[[bo:རང་བྱུང་གྲངས།]] |
|||
[[bs:Prirodan broj]] |
|||
[[br:Niver naturel]] |
|||
[[ca:Nombre natural]] |
|||
[[cv:Пурлăх хисепĕ]] |
|||
[[cs:Přirozené číslo]] |
|||
[[cy:Rhif naturiol]] |
|||
[[da:Naturligt tal]] |
|||
[[de:Natürliche Zahl]] |
|||
[[et:Naturaalarv]] |
|||
[[el:Φυσικός αριθμός]] |
|||
[[eml:Nómmer naturèl]] |
|||
[[en:Natural number]] |
|||
[[es:Número natural]] |
|||
[[eo:Natura nombro]] |
|||
[[eu:Zenbaki arrunt]] |
|||
[[fa:عدد طبیعی]] |
|||
[[fo:Teljital]] |
|||
[[fr:Entier naturel]] |
|||
[[ga:Uimhreacha aiceanta]] |
|||
[[gl:Número natural]] |
|||
[[gan:自然數]] |
|||
[[xal:Йиртмҗин тойг]] |
|||
[[ko:자연수]] |
|||
[[hi:प्राकृतिक संख्या]] |
|||
[[hsb:Přirodna ličba]] |
|||
[[hr:Prirodni broj]] |
|||
[[id:Bilangan asli]] |
|||
[[ia:Numero natural]] |
|||
[[os:Натуралон нымæц]] |
|||
[[is:Náttúrlegar tölur]] |
|||
[[it:Numero naturale]] |
|||
[[he:מספר טבעי]] |
|||
[[jv:Wilangan asli]] |
|||
[[kn:ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ]] |
|||
[[ka:ნატურალური რიცხვი]] |
|||
[[kk:Дағдылы сан]] |
|||
[[ku:Hejmarên xwezayî]] |
|||
[[lo:ຈຳນວນທຳມະຊາດ]] |
|||
[[la:Numerus naturalis]] |
|||
[[lv:Naturāls skaitlis]] |
|||
[[lb:Natierlech Zuel]] |
|||
[[lt:Natūralusis skaičius]] |
|||
[[jbo:kacna'u]] |
|||
[[lmo:Nümar natüraal]] |
|||
[[hu:Természetes számok]] |
|||
[[mk:Природен број]] |
|||
[[mg:Isa nanahary]] |
|||
[[ml:എണ്ണൽ സംഖ്യ]] |
|||
[[mr:नैसर्गिक संख्या]] |
|||
[[ms:Nombor asli]] |
|||
[[mn:Натурал тоо]] |
|||
[[nl:Natuurlijk getal]] |
|||
[[new:प्राकृतिक ल्याखँ]] |
|||
[[ja:自然数]] |
|||
[[frr:Natüürelk taal]] |
|||
[[no:Naturlig tall]] |
|||
[[nn:Naturleg tal]] |
|||
[[uz:Natural son]] |
|||
[[pnb:نیچرل نمبر]] |
|||
[[pms:Nùmer natural]] |
|||
[[nds:Natürliche Tall]] |
|||
[[pl:Liczby naturalne]] |
|||
[[pt:Número natural]] |
|||
[[ro:Număr natural]] |
|||
[[ru:Натуральное число]] |
|||
[[sc:Nùmeru naturale]] |
|||
[[sq:Numrat natyralë]] |
|||
[[scn:Nùmmuru naturali]] |
|||
[[si:ස්වාභාවික සංඛ්යා]] |
|||
[[simple:Natural number]] |
|||
[[sk:Prirodzené číslo]] |
|||
[[sl:Naravno število]] |
|||
[[ckb:ژمارەی سروشتی]] |
|||
[[sr:Природан број]] |
|||
[[sh:Prirodan broj]] |
|||
[[fi:Luonnollinen luku]] |
|||
[[sv:Naturliga tal]] |
|||
[[tl:Likas na bilang]] |
|||
[[ta:இயல் எண்]] |
|||
[[te:సహజ సంఖ్య]] |
|||
[[th:จำนวนธรรมชาติ]] |
|||
[[tg:Адади натуралӣ]] |
|||
[[tr:Doğal sayılar]] |
|||
[[uk:Натуральні числа]] |
|||
[[ur:قدرتی عدد]] |
|||
[[vi:Số tự nhiên]] |
|||
[[fiu-vro:Tüküarv]] |
|||
[[zh-classical:自然數]] |
|||
[[vls:Natuurlik getal]] |
|||
[[war:Unob nga ihap]] |
|||
[[yi:נאטירלעכע צאל]] |
|||
[[yo:Nọ́mbà àdábáyé]] |
|||
[[zh-yue:自然數]] |
|||
[[bat-smg:Natūralos skaitlios]] |
|||
[[zh:自然数]] |
Вэрсія ад 21:19, 8 сакавіка 2013
Натуральныя лікі - гэта элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4...}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.
У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г.зв. "пашыраны натуральны шэраг" {0, 1, 2, 3, 4...}.
Гісторыя
Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік “два” зьвязваўся з ворганамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. ”Вочы” ў індыйцаў, “Крылы” ў тыбэтцаў азначалі таксама “два”. З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноствы" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі.
Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў III стагодзьдзі да н. э. Архімэд у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. Эўклід яшчэ ў III стагодзьдзі да н. э. вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” грэцкага матэматыка (нэапітагарэйца) Нікамах з Геразы, які жыў каля 100 г. н. э. Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на латцінскую мову рымскім аўтарам Баэцыем (480–524), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных рукапісах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў францускага філёзафа і матэматыка Ж. д’Алямбэра (1717–1783).
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.
У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.
Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэана
Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства , у якім для нейкіх элемэнтаў і існуе адносіна " накіроўваецца за (пазначаецца як ) і задавальняе наступным аксіёмам, якія атрымалі назву аксіёмаў Пэана:
- існуе 1, якое не накіроўваецца ні за ніводным элемэнтам,
- для любога існуе , якое накіроўваецца за ім, прычым толькі адно,
- любы элемэнт накіроўваецца ня больш чым за адным элемэнтам,
- любое мноства з уласьцівасьцямі
- 1 прыналежыць ,
- калі прыналежыць , то і прыналежыць
- супадае з (аксіёма індукцыі)
На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.
Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне
Пашыраны натуральны шэраг можна ўвесьці як магутнасьць канечнага мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут азначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:
- 0 = { }
- 1 = {0} = {{ }}
- 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
- 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
- n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}
Уласьцівасьці
Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).
Літаратура
- Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич
- Зорич В. А. Математический анализ. Часть І.
- Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
- Глейзер Г. И. История математики в школе.
- Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?
Гэта — накід артыкула па матэматыцы. Вы можаце дапамагчы Вікіпэдыі, пашырыўшы яго. |