Складаньне

Складаньне — бінарная апэрацыя, якая дазваляе аб’яднаць два аб’екты.

Апэрацыя складаньня звычайна пазначаецца знакам + (плюс). У асобных разьдзелах матэматыкі складаньне таксама пазначаецца іншымі спэцыфічнымі для гэтага абсягу сымбалямі ( $\lor$ , $\cup$ , $\sum$ , і г.д.)

Апэранды апэрацыі складаньня завуцца складнікамі, вынік — сумай. Адваротная да складаньня апэрацыя завецца адыманьнем.

Агульныя ўласьцівасьці апэрацыі складаньня

Любую бінарную апэрацыя, яка задавальняе наступным умовам у матэматыцы можна назваць складаньнем:

Камутатыўнасьць
$a+b=b+a\,$

Ад перастаноўкі складнікаў сума не зьмяняецца.

Асацыятыўнасьць
$(a+b)+c=a+(b+c)\,$

Азначэньне складаньня

Складаньне натуральных лікаў

Для таго, каб да натуральнага ліку m дадаць натуральны лік n трэба павялічыць лік m на адзінку n разоў.

Напрыклад,

5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9

Альгарытм складаньня шматзначных натуральных лікаў

Cкладаньне шматзначных лікаў у пазыцыйнай сыстэме лічэньня можна зьвесці да складаньня адназначных лікаў шляхам паразраднага складаньня зь пераносам, гэта значыць складаньня аднолькавых разрадаў складнікаў як асобных лікаў. Вынік складаньня разрадаў будзе значэньнем гэтага ж разраду сумы; калі ж сума разрадаў складае двухзначны лік, то бярэцца малодшы разрад, а старэйшы пераносіцца ў наступны (па нумары) разрад, гэта значыць дадаецца да сумы наступных разрадаў.

Такім чынам, складаньне шматзначных лікаў зьдзяйсьняецца паводле наступнага альгарытму:

Скласьці наймалодшыя разрады (адзінкі). Калі вынік складаньня не перавышае 9, гэта складзе наймалодшы разрад сумы. Калі ж вынікам складаньня атрымаўся двухзначны лік, то другая (наймалодшая) лічба вызначае колькасьць адзінак у суме, а першая пераносіцца ў старэйшы разрад (дзясяткі).
Скласьці наступныя разрады (дзясяткі); калі быў перанос з папярэдняга разраду, дадаць яго да сумы. Вызначыць другую лічбу сумы, а таксама неабходнасьць пераносу гэтак жа, як і першага разраду (п.1);
Паўтараць п.2, рухаючыся ад малодшых разрадаў да старэйшых (справа налева), пакуль ня будуць складзеныя ўсе разрады складнікаў.

Калі разраднасьць складнікаў не супадае, то ў разрадах меншага складніка, якіх не хапае, ставяцца нулі.

Пры ручным складаньні лікі для зручнасьці запісваюць адзін пад адным, так, каб аднолькавыя разрады апынуліся ў адным слупку. Адзінку, якая пераносіцца ў старэйшы разрад, запісваюць над першым складнікам або проста запамінаюць.

Напрыклад,

1	1	1			1
+	9	7	5	2	6	3	4
+		4	5	4	1	8	2
1	0	2	0	6	8	1	6

Такое складаньне завецца складаньнем «у слупок». Гэтак жа можна скласьці тры ці болей лікаў. У такім выпадку пераносіцца ў наступны разрад можа ня толькі 1, а і большы лік. Напрыклад,

1	2	1	3
+	5	7	0	8
			1	7
		6	5	7
	7	6	6	9
1	4	0	3	1

Складаньне цэлых лікаў

Складаньне дадатных цэлых лікаў аналягічнае складаньню натуральных лікаў.

Калі сярод складнікаў прысутнічаюць адмоўныя лікі, складаньне можна зьвесьці да складаньня або адыманьня дадатных лікаў. Менавіта,

каб скласьці два адмоўныя лікі, трэба скласьці іх модулі; вынік узяць са знакам «мінус»
каб скласьці дадатны лік з адмоўным, трэба ад модуля большага (па модулі) ліку адняць модуль меншага; вынік узяць са знакам ліку, што мае большы модуль.

Напрыклад,

−22 + (−17) = −(22 + 17) = −39

−14 + 40 = 40 −14 = 26

23 + (−27) = −(27 − 23) = −4

Гэтыя правілы вынікаюць з таго, што сума супрацьлеглых лікаў складае нуль:

a + (−a) = 0

Таму

a + b = a + b − 0 = a + b − (b + (−b)) = a −(−b).

Гэта значыць, складаньне можна замяніць адыманьнем, зьмяніўшы знак другога складніка на супрацьлеглы. І наадварот, адыманьне можна замяніць складаньнем, зьмяніўшы на супрацьлеглы знак аднімніка.

Складаньне ліку 0 (нуль) зь любым іншым цэлым лікам не зьмяняе яго. Напрыклад,

5 + 0 = 5

Складаньне рацыянальных лікаў

Для складаньня рацыянальных лікаў перш за ўсё неабходна прывсьці іх да агульнага назоўніка, а потым скласьці зь лічнікам, беручы агульны назоўнік за назоўнік сумы.

Напрыклад,

{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {5}{6}}

Складаньне ірацыянальных лікаў

Кожны ірацыянальны лік зьяўляецца мяжой пэўнай пасьлядоўнасці рацыянальных набліжэньняў. Калі ірацыянальны лік $a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ , а ірацыянальны лік $b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}$ , то

a+b=\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n}+b_{n})

Складаньне камплексных лікаў

Пры складаньни камплексных лікаў асобна складаюцца рэчаісная і зданьнёвая часткі

z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\,

або

(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,

Складаньне вэктараў

Для складаньня вэктараў, азначаных у вэктарнай прасторы з базісам неабходна скласьці іх кампанэнты

\ (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})

Складаньне матрыц

Можна складаць матрыцы, якія маюць аднолькавую колькасьць радкоў і слупкоў. Сума такіх матрыц мае тую ж самую колькасьць радкоў і слупкоў, а кожны элемэнт матрыцы сумы зьяўляецца сумай элемэнтаў матрыц-складнікаў. Напрыклад,

{\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}

Складаньне мностваў

Для мностваў апэрацыя аб'яднання задавальняе патрабаваньням камутатыўнасьці і асацыятыўнасьці, а таму зьяўляецца аналягам cкладаньня.

Складаньне элемэнтаў групаў

Увогуле, групавыя апэрацыі ня маюць ўласцівасьці асацыятыўнасьці. Групы, для якіх групавая апэрацыя камутатыўная, завуцца абэлевымі. Сярод абэлевых групаў вылучаюць адытыўная, у якіх групавую апэрацыю завуць складаньнем. Прыкладам такой групы можа быць група паваротаў гадзіннай стрэлкі.

Складаньне ў матэматычнай лёгіцы

У матэматычнай лёгіцы складаньню адпавядае апэрацыя АБО. Вынік гэтай апэрацыі ІСЬЦІНА калі хаця б адзін з апэрандаў мае значэньне ісьціны.

Апэрацыя складаньня ў булевай альгебры пазначаецца сымбалем $\lor$ .

Лёгіка

Складаньне (лёгіка) гэта карэктная, простая форма аргумэнтацыі ў лёгіцы:

A.

Такім чынам, A або B.

або ў лёгіка-апэратарнай натацыі:

A\vdash A\lor B

Аргумэнт мае адну зыходную здагадку A. З праўдзівасьці A вынікае, што A або B зьяўляецца ісьцінай.

Арытмэтычныя апэрацыі


Складаньне	Адыманьне	Множаньне	Дзяленьне
+	−	×	÷