Роўніца

Ро́ўніца (пло́скасьць, плашчыня) — адно з асноўных паняцьцяў геамэтрыі.

Роўніца — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе простыя лініі, што праходзяць празь якія-небудзь два пункты роўніцы.

У альгебры роўніца вызначаецца як двухмерная афінная прастора. У плянімэтрыі роўніца разглядаецца як унівэрсуюм, да якога належаць усе геамэтрычныя фігуры. Стэрэамэтрыя разглядае бясконцае мноства роўніцаў, што належаць да прасторы.

Раўнаньні роўніцы

Роўніца — альгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сыстэме каардынат роўніцу можна задаць раўнаньнем першай ступені.

• Агульнае раўнаньне (поўнае) роўніцы

$Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$

дзе $A,B,C$ і $D$ — канстанты, прычым $A,B$ і $C$ адначасова ня роўныя нулю; у вэктарнай форме:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0$

дзе $\mathbf {r}$ — радыюс-вэктар пункту $M(x,y,z)$, вэктар $\mathbf {N} =(A,B,C)$ пэрпэндыкулярны да роўніцы (нармальны вэктар). Накіравальныя косінусы вэктары $\mathbf {N}$:

$\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$

Калі адзін з каэфіцыентаў у раўнаньні роўніцы — нуль, раўнаньне завецца няпоўным. Пры $D=0$ роўніца праходзіць праз пачатак каардынат, пры $A=0$ (або $B=0$, $C=0$) роўніца паралельная восі $Ox$ (адпаведна $Oy$ або $Oz$). Пры $A=B=0$ ($A=C=0$, або $B=C=0$) роўніца паралельная роўніцы $Oxy$ (адпаведна $Oxz$ або $Oyz$).

• Раўнаньне роўніцы ў адцінках:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$

дзе $a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C$ — адцінкі, якія роўніца адсякае на восях $Ox,Oy$ і $Oz$.

• Раўнаньне роўніцы, якая праходзіць праз пункт $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ пэрпэндыкулярна вэктару нармалі $\mathbf {N} (A,B,C)$:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;$

у вэктарнай форме:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.$

• Раўнаньне роўніцы, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты $M(x_{i},y_{i},z_{i})$, што не ляжаць на адной простай:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0$

(зьмяшаны здабытак вектараў), інакш

$\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.$

• Нармальнае (нармаванае) раўнаньне роўніцы

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)$

у вэктарнай форме:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,$

дзе $\mathbf {N^{0}}$ — адзінкавы вэктар, $p$ — адлегласьць роўніцы ад пачатку каардынат. Раўнаньне (2) можна атрымаць з раўнаньня (1) множаньнем на нармоўны множнік

$\mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

(знакі $\mu$ і $D$ супрацьлеглыя).

Літаратура

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.