Экспанэнтавая натацыя

Экспанэ́нтавая ната́цыя, навуко́вы за́піс — спосаб запісу лікаў, надта вялікіх ці вельмі маленькіх для зручнага запісу ў дзесятковай форме. Такую заснаваную на дзесятковай базе натацыю шырока ўжываюць навукоўцы, матэматыкі ды інжынэры, бо яна дазваляе спрасьціць арытмэтычныя апэрацыі.

Дзесятковы запіс	Навуковы запіс
2	2×100
300	3×102
4321.768	4.321768×103
−53000	−5.3×104
6720000000	6.72×109
02	2×10−1
987	9.87×102
0.00000000751	7.51×10−9

У экспанэнтавай натацыі ненулявыя лікі запісваюць у форме

m × 10ⁿ

альбо m, памножанае на дзесяць у ступені n, дзе n — цэлы лік, а каэфіцыент m — ненулявы рэчаісны лік (звычайна паміж 1 і 10 у модулі, і запісаны найчасьцей зь дзесятковым разьдзяляльнікам). Цэлы лік n называецца экспанэнтай, а рэчаісны m — вартасным лікам(d) або мантысай. Калі лік адмоўны, то перад m дадаецца сымбаль мінусу, як і ў звычайнай дзесятковай натацыі. У нармалізаванай натацыі экспанэнту выбіраюць так, каб абсалютная велічыня (модуль) вартаснага ліку m была ня меншай за 1 і меншай за 10.

Нармалізаваная натацыя

Асноўны артыкул: Нармалізаваны лік

Любы рэчаісны лік можна запісаць формулай m×10^ⁿ рознымі спосабамі: напрыклад, 350 можна запісаць як 3.5×10², 35×10¹ або 350×10⁰.

У нармалізаваным навуковым запісе экспанэнту n выбіраюць такім чынам, каб абсалютная велічыня m была ня меншай за адзінку, але меншай за дзесяць (1 ≤ |m| < 10). Такім чынам, 350 варта запісаць у выглядзе 3.5×10². Такая форма дазваляе лягчэй параўноўваць лікі: лікі з большымі экспанэнтамі (дзякуючы нармалізацыі) будуць большымі, чым лікі зь меншымі экспанэнтамі, а адніманьнем экспанэнтаў можна ацаніць парадак велічыні(d), на які адрозьніваюцца лікі. Для лікаў з абсалютным значэньнем між 0 і 1 экспанэнта n у нармалізаванай натацыі адмоўная (то бок 0,5 запісваецца ў выглядзе 5×10⁻¹). Калі экспанэнта роўная 0, то экспанэнтную частку ліку (уключаючы 10) можна абмінуць. Пры патрэбе складаньня ці адыманьня (або якога-кольвек іншага параўнаньня) некалькіх лікаў зручна для ўсіх элемэнтаў выкарыстоўваць аднолькавае значэньне m.

Нармалізаваны навуковы запіс — тыповая форма запісу вялікіх нумароў у мностве навуковых галінаў. Часта яго называюць проста экспанэнцыйнай натацыяй — хоць гэты тэрмін больш агульны і ўключае таксама выпадкаў, дзе m не абмежаваны дыяпазонам ад 1 да 10, а базы(d) могуць быць ня толькі 10 (напрыклад, 3,15×2^²⁰).

Інжынэрная натацыя

Асноўны артыкул: Інжынэрная натацыя

Інжынэрная натацыя адрозьніваецца ад нармалізаванай навуковай натацыі тым, што экспанэнта n абмежаваная ступенямі(d) тройкі. Адпаведна абсалютнае значэньне мантысы m можа прымаць значэньні 1 ≤ |m| < 1000, а не 1 ≤ |m| < 10. Інжынэрная натацыя дазваляе запісваць нумары адпаведна іхнім прыстаўкам СІ, напрыклад 12.5×10⁻⁹ м можна прачытаць як «12 з паловай нанамэтраў» і запісаць як 12.5 нм, а пры запісе ў навуковай натацыі 1.25×10⁻⁸ м давялося б называць гэты лік «адна цэлая дваццаць пяць сотых памножанае на дзесяць у мінус восьмай ступені мэтраў».

Вартасныя лічбы

Асноўны артыкул: Вартасныя лічбы

Вартасная лічба(d) — гэта разрад у ліку, які падвышае ягоную дакладнасьць. Сюды ўключаюцца ненулявыя лікі, нулі між вартаснымі лічбамі і нулі, якія пакінутыя дзеля пазначэньня вартасьці. Вядучыя і канечныя нулі ня лічацца вартаснымі разрадамі, бо патрэбныя толькі для паказу парадку ліку. На жаль, гэта прыводзіць да неадназначнасьцяў. Звычайна лічаць, што лік 1230400 мае пяць вартасных лічбаў: 1, 2, 3, 0 і 4, а два апошнія нулі ёсьць толькі структурнымі сымбалямі, якія не павялічваюць дакладнасьць. Аднак нават у тым выпадку, калі пры вымярэньнях два апошнія разрады былі вымераныя дакладна і аказаліся роўнымі нулю, лік усё адно быў бы запісаны ў такім самым выглядзе зь сям’ю вартаснымі лічбамі.

Пры пераводзе такога ліку ў нармалізаваны навуковы запіс ён дзеліцца да мантысы паміж 1 і 10. Усе вартасныя лічбы захоўваюцца, а канечныя нулі адкідаюцца. Такім чынам, лік 1230400 стане 1.2304×10⁶, як бы меў пяць вартасных разрадаў. Калі б лік меў шэсьць або сем вартасных разрадаў, дык быў запісаны б як 1.23040×10⁶ або 1.230400×10⁶. Такім чынам, яшчэ адной перавагай навуковага запісу ёсьць адназначная колькасьць вартасных разрадаў.

Натацыя «E»

Дысплэй калькулятара Texas Instruments TI-84 Plus з вывадам канстанты Авагадра ў запісе E

Большасьць калькулятараў і шматлікія кампутарныя праграмы выводзяць вельмі вялікія і малыя вынікі ў навуковым запісе, які ў розных вытворцаў і мадэлях уключаецца клявішай з надпісам EXP (то бок exponent), EEX (то бок enter exponent), EE, EX, E або ×10^x. Паколькі ня ўсе зь іх могуць правільна выводзіць надрадковыя сымбалі накшталт 10⁷, для аддзяленьня «дзясяткі ў ступені» выкарыстоўваецца літара E або e (што можна запісаць як „× 10ⁿ“), пасьля чаго ідзе значэньне экспанэнты; інакш кажучы, для любога рэчаіснага ліку m і цэлага n вывад «mEn» будзе азначаць значэньне m × 10ⁿ. У гэтым выпадку сымбаль e ня тычыцца ані канстанты e, ані паказьнікавай функцыі e^x. Выкарыстаньне натацыі «E» палягчае ўвод інфармацыі і чытэльнасьць у тэксьце, бо зьмяншае колькасьць націскаў клявішаў, дапамагае ўнікнуць выкарыстаньня дробных шрыфтоў ды стварае прасьцейшы і выразьнейшы вывад.

Тыпаграфіка

У нармалізаваным навуковым запісе, у інжынэрнай і натацыі «E» пропуст дазваляецца толькі перад і пасьля «×» альбо перад «E» і часам апускаецца.

Прыклады навуковага запісу

• Маса электрона прыкладна роўная 0.000000000000000000000000000000910938356 кг. У навуковым запісе гэта выражаецца так: 9.10938356×10⁻³¹ кг (у адзінках СІ).
• Маса Зямлі прыкладна роўная 5972400000000000000000000 кг. У навуковым запісе гэта выражаецца так: 5.9724×10²⁴ кг.
• Даўжыня акружыны Зямлі прыкладна роўная 40000000 м. У навуковым запісе гэта выражаецца так: 4×10⁷ м. У інжынэрным запісе гэта выражаецца так: 40×10⁶ м. У сыстэме СІ гэта можна запісаць так: 40 Мм (40 мэгамэтраў).

Перавод лікаў

У дадзеным выпадку разглядаем перавод лікаў зь дзесятковай сыстэмы ў навуковы запіс, назад у дзесятковую форму альбо зьмяненьне экспанэнцыйнай часткі выразы. Сам лік пры гэтым не зьмяняецца, зьмяняецца толькі ягонае адлюстраваньне.

Зь дзесятковай у навуковую

Сьпярша трэба перамясьціць коску разьдзяляльніка цэлай і дробнай частак на n пазыцыяў, каб значэньне цэлай часткі было ня менш за 1, але менш за 10. Калі разьдзяляльнік пры гэтым зьмяшчаўся ўлева, трэба дадаць × 10n; калі ж управа — тады × 10−n. Каб прадставіць лік 1,230,400 у нармальным навуковым запісе, коску варта перамясьціць на 6 разрадаў улева і дадаць × 106; атрымаем 1.2304×10⁶. У ліку −0.0040321 варта перамясьціць коску на 3 разрады ўправа, а ня ўлева, што дасьць вынік −4.0321×10⁻³.

З навуковай у дзесятковую

Каб перавесьці лік з навуковага запісу ў дзесятковы, сьпярша трэба пазбавіцца канчатку × 10n, пасьля чаго перанесьці дзесятковую коску на n разрадаў управа (калі n дадатны) або ўлева (калі n адмоўны). Прыкладам, у ліку 1.2304×10⁶ варта зьмясьціць коску на 6 разрадаў управа; атрымаем 1,230,400. У ліку −4.0321×10⁻³ варта зьмясьціць коску на 3 разрады ўлева; атрымаем −0.0040321.

Экспанэнцыйная

Перавод між рознымі навуковымі спосабамі запісу з рознымі значэньнямі экспанэнты атрымліваецца правядзеньнем апэрацый множаньня або дзяленьня на ступень дзясяткі над мантысай і адыманьнем або складаньнем экспанэнты адпаведна. Дзесятковая коска ў мантысе пераносіцца на x улева (ці ўправа), а да экспанэнты дадаецца (або адымаецца ад яе) x, як паказана ніжэй.

1.234×10³ = 12.34×10² = 123.4×10¹ = 1234

Асноўныя апэрацыі

Маем два лікі ў навуковай натацыі,

$$x_{0}=m_{0}\times 10^{n_{0}}$$

і

$$x_{1}=m_{1}\times 10^{n_{1}}$$

Множаньне і дзяленьне выконваюцца па правілах апэрацый ступеняваньня:

$$x_{0}x_{1}=m_{0}m_{1}\times 10^{n_{0}+n_{1}}$$

і

$${\frac {x_{0}}{x_{1}}}={\frac {m_{0}}{m_{1}}}\times 10^{n_{0}-n_{1}}$$

Колькі прыкладаў:

$$5.67\times 10^{-5}\times 2.34\times 10^{2}\approx 13.3\times 10^{-5+2}=13.3\times 10^{-3}=1.33\times 10^{-2}$$

і

$${\frac {2.34\times 10^{2}}{5.67\times 10^{-5}}}\approx 0.413\times 10^{2-(-5)}=0.413\times 10^{7}=4.13\times 10^{6}$$

Для складаньня і адыманьня неабходна прывесьці лікі да аднолькавай экспанэнтнай часткі, тады мантысы можна проста скласьці або адняць:

$x_{0}=m_{0}\times 10^{n_{0}}$ і $x_{1}=m_{1}\times 10^{n_{1}}$ дзе $n_{0}=n_{1}$

Пасьля гэтага складзіце ці адыміце экспанэнты:

$$x_{0}\pm x_{1}=(m_{0}\pm m_{1})\times 10^{n_{0}}$$

Прыклад:

$$2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$$

Іншыя базісы

Звычайна для навуковай натацыі выкарыстоўваюцца ступені дзясяткі, аднак могуць ужывацца й ступені іншых лікаў, найчасьцей двойкі.

Напрыклад, у навуковым запісе з базісам 2 лік 1001₂ у двайковай сыстэме (=9₁₀) запісваецца як 1.001₂ × 2₁₀^11₂ альбо 1.001₂ × 10₂^11₂ з выкарыстаньнем двайковых лічбаў (альбо карацей 1.001 × 10¹¹). У запісе «E» гэта запісваецца як 1.001₂E11₂ (альбо карацей 1.001E11), дзе літара E цяпер азначае «двойка (10₂) у ступені». Дзеля лепшага адрозьненьня экспанэнты ў базісе 2 ад экспанэнты ў базісе 10 першы часам пазначаюць літарай B замест E, як у 1.001₂B11₂ (альбо карацей 1.001B11). Для параўнаньня той самы лік у дзесятковым прадстаўленьні(d): 1.125 × 2³ альбо 1.125B3. Некаторыя калькулятары маюць зьмяшаную форму прадстаўленьня двайковых лікаў з плаваючай коскай, дзе экспанэнта выводзіцца ў дзесятковай сыстэме нават у двайковым рэжыме; такім чынам, вышэйшы прыклад выглядацьме так: 1.001₂ × 10₂^3₁₀, альбо скарочана 1.001B3.

Падобна да B, літарамі H і O часам пазначаюць ступені лікаў 16 альбо 8 адпаведна, напрыклад 1.25 = 1.40₁₆ × 10₁₆^0₁₆ = 1.40H0 = 1.40h0, альбо 98000 = 2.7732₈ × 10₈^5₈.

Інжынэрную натацыю(d) можна разглядаць як навуковую з базісам 1000.

Глядзіце таксама

• Пазыцыйная натацыя
• Лік з плаваючай коскай

Вонкавыя спасылкі

• Канвэртар дзесятковых лікаў у навуковы запіс
• Канвэртар навуковага запісу ў дзесятковыя лікі
• Канвэртар навуковай натацыі