Уласныя лікі, вэктары і прасторы
У матэматыцы ўласным вэктарам пераўтварэньня[a] ёсьць ненулявы вэктар, напрамак якога не зьмяняецца паводле пераўтварэньня. Каэфіцыент расьцягненьня вэктару ёсьць яго ўласным лікам (гл. прыклад на малюнку 1). Вельмі часта пераўтварэньне цалкам апісваецца яго ўласнымі лікамі й вэктарамі. Уласная простора ёсьць мноствам уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі.
Упершыню ў гэтым сэнсе слова ўласны было выкарыстана нямецкім матэматыкам Гільбэртам у 1904 годзе. Нямецкае слова «eigen» можна перакласьці як «уласны», «індывідуальны».
Азначэньні
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Пераўтварэньні прасторы (накшталт зруху, павароту, адлюстраваньня, расьцягненьня, сьцісканьня і іншых) могуць быць апісаныя тым, як яны ўзьдзейнічаюць на вэктары.
- Уласныя вэктары пераўтварэньняў ёсьць вэктарамі[b], якія пасьля пераўтварэньня не зьмяніліся ці модуль якіх памножыўся на каэфіцыент расьцягненьня.
- Уласны лік уласнага вэктару ёсьць яго каэфіцыентам расьцягненьня.
- Уласная прастора ёсьць прастора, якая складаецца з усіх уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі разам з нуль-вэктарам, які сам ня ёсьць уласным вэктарам.
Раўнаньне ўласнага ліку
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Ненулявы вэктар ёсьць уласным вэктарам, а — уласным лікам пераўтварэньня T, калі праўдзівае раўнаньне:
- ,
дзе — вэктар, які ёсьць рэзультатам пераўтварэньня T над вэктарам .
Няхай ёсьць лінейным пераўтварэньнем (а, значыць, раўнаньне праўдзівае для любых скаляраў a, b ды вэктараў і ). Вылучым базіс у гэтай вэктарнай прасторы. Тады і могуць быць запісаныя адносна базіса ў выглядзе матрыцы і вэртыкальнага вэктара . Раўнаньне ўласнага ліку можа быць запісаным наступным чынам:
Заўвагі
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]- ^ У дадзеным выпадку разглядаюцца толькі лінейныя пераўтварэньні з вэктарнае прасторы ў гэтую ж самую вэктарную прастору
- ^ З прычыны таго, што ўсе лінейныя пераўтварэньні пакідаюць нуль-вэктар нязьменным, ён ня лічыцца ўласным вэктарам