Уласныя лікі, вэктары і прасторы

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да навігацыі Перайсьці да пошуку
Мал. 1. У гэтым пераўтварэньні Моны Лізы выява была дэфармаваная такім чынам, што яе вэртыкальная вось не зьмянілася. (Заўвага: куты другой выявы абрэзаныя.) Блакітны вэктар зьмяніў кірунак, але ж чырвоны застаўся нязьменным. Чырвоны вэктар і ёсьць уласным вэктарам пераўтварэння (у адрозьненьне ад блакітнага. З прычыны таго, что чырвоны вэктар не расьцягнуўся і ня сьціснуўся, яго ўласны лік ёсьць 1. Адначасова ўсе вэктары, накіраваныя ўздоўж тое самае вэртыкальнае рысы, што й чырвоны, таксама ёсьць уласнымі вэктарамі (з тым жа ўласным лікам). Яны ўтвараюць уласную прастору гэтага ўласнага ліку.

У матэматыцы ўласным вэктарам пераўтварэньня[a] ёсьць ненулявы вэктар, напрамак якога не зьмяняецца паводле пераўтварэньня. Каэфіцыент расьцягненьня вэктару ёсьць яго ўласным лікам (гл. прыклад на малюнку 1). Вельмі часта пераўтварэньне цалкам апісваецца яго ўласнымі лікамі й вэктарамі. Уласная простора ёсьць мноствам уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі.

Упершыню ў гэтым сэнсе слова ўласны было выкарыстана нямецкім матэматыкам Гільбэртам у 1904 годзе. Нямецкае слова «eigen» можна перакласьці як «уласны», «індывідуальны».

Азначэньні[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Пераўтварэньні прасторы (накшталт зруху, павароту, адлюстраваньня, расьцягненьня, сьцісканьня і іншых) могуць быць апісаныя тым, як яны ўзьдзейнічаюць на вэктары.

  • Уласныя вэктары пераўтварэньняў ёсьць вэктарамі[b], якія пасьля пераўтварэньня не зьмяніліся ці модуль якіх памножыўся на каэфіцыент расьцягненьня.
  • Уласны лік уласнага вэктару ёсьць яго каэфіцыентам расьцягненьня.
  • Уласная прастора ёсьць прастора, якая складаецца з усіх уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі разам з нуль-вэктарам, які сам ня ёсьць уласным вэктарам.

Раўнаньне ўласнага ліку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Ненулявы вэктар ёсьць уласным вэктарам, а  — уласным лікам пераўтварэньня T, калі праўдзівае раўнаньне:

,

дзе  — вэктар, які ёсьць рэзультатам пераўтварэньня T над вэктарам .

Няхай ёсьць лінейным пераўтварэньнем (а, значыць, раўнаньне праўдзівае для любых скаляраў a, b ды вэктараў і ). Вылучым базіс у гэтай вэктарнай прасторы. Тады і могуць быць запісаныя адносна базіса ў выглядзе матрыцы і вэртыкальнага вэктара . Раўнаньне ўласнага ліку можа быць запісаным наступным чынам:

Заўвагі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. ^ У дадзеным выпадку разглядаюцца толькі лінейныя пераўтварэньні з вэктарнае прасторы ў гэтую ж самую вэктарную прастору
  2. ^ З прычыны таго, што ўсе лінейныя пераўтварэньні пакідаюць нуль-вэктар нязьменным, ён ня лічыцца ўласным вэктарам