Уласныя лікі, вэктары і прасторы

Мал. 1. У гэтым пераўтварэньні Моны Лізы выява была дэфармаваная такім чынам, што яе вэртыкальная вось не зьмянілася. (Заўвага: куты другой выявы абрэзаныя.) Блакітны вэктар зьмяніў кірунак, але ж чырвоны застаўся нязьменным. Чырвоны вэктар і ёсьць уласным вэктарам пераўтварэння (у адрозьненьне ад блакітнага. З прычыны таго, что чырвоны вэктар не расьцягнуўся і ня сьціснуўся, яго ўласны лік ёсьць 1. Адначасова ўсе вэктары, накіраваныя ўздоўж тое самае вэртыкальнае рысы, што й чырвоны, таксама ёсьць уласнымі вэктарамі (з тым жа ўласным лікам). Яны ўтвараюць уласную прастору гэтага ўласнага ліку.

У матэматыцы ўласным вэктарам пераўтварэньня ёсьць ненулявы вэктар, напрамак якога не зьмяняецца паводле пераўтварэньня. Каэфіцыент расьцягненьня вэктару ёсьць яго ўласным лікам (гл. прыклад на малюнку 1). Вельмі часта пераўтварэньне цалкам апісваецца яго ўласнымі лікамі й вэктарамі. Уласная простора ёсьць мноствам уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі.

Упершыню ў гэтым сэнсе слова ўласны было выкарыстана нямецкім матэматыкам Гільбэртам у 1904 годзе. Нямецкае слова «eigen» можна перакласьці як «уласны», «індывідуальны».

Азначэньні

Пераўтварэньні прасторы (накшталт зруху, павароту, адлюстраваньня, расьцягненьня, сьцісканьня і іншых) могуць быць апісаныя тым, як яны ўзьдзейнічаюць на вэктары.

• Уласныя вэктары пераўтварэньняў ёсьць вэктарамі, якія пасьля пераўтварэньня не зьмяніліся ці модуль якіх памножыўся на каэфіцыент расьцягненьня.
• Уласны лік уласнага вэктару ёсьць яго каэфіцыентам расьцягненьня.
• Уласная прастора ёсьць прастора, якая складаецца з усіх уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі разам з нуль-вэктарам, які сам ня ёсьць уласным вэктарам.

Раўнаньне ўласнага ліку

Ненулявы вэктар ${\vec {v_{\lambda }}}$ ёсьць уласным вэктарам, а $\lambda$ — уласным лікам пераўтварэньня T, калі праўдзівае раўнаньне:

$T({\vec {v_{\lambda }}})=\lambda \,{\vec {v_{\lambda }}}$,

дзе $T({\vec {v_{\lambda }}})$ — вэктар, які ёсьць рэзультатам пераўтварэньня T над вэктарам ${\vec {v_{\lambda }}}$.

Няхай $T$ ёсьць лінейным пераўтварэньнем (а, значыць, раўнаньне $T(a{\vec {v}}+b{\vec {w}})=aT({\vec {v}})+bT({\vec {w}})$ праўдзівае для любых скаляраў a, b ды вэктараў ${\vec {v}}$ і ${\vec {w}}$). Вылучым базіс у гэтай вэктарнай прасторы. Тады $T$ і ${\vec {v_{\lambda }}}$ могуць быць запісаныя адносна базіса ў выглядзе матрыцы $A_{T}$ і вэртыкальнага вэктара ${\vec {v_{\lambda }}}$. Раўнаньне ўласнага ліку можа быць запісаным наступным чынам:

$A_{T}\,{\vec {v_{\lambda }}}=\lambda \,{\vec {v_{\lambda }}}$