Прагляд крыніцы для Трыганамэтрыя

'''Трыганамэ́трыя''' (ад {{мова-el|τρίγονο|скарочана}} — «трыкутнік» і μετρειν — «вымярэньне», літаральна — «вымярэньне трыкутнікаў») — разьдзел [[матэматыка|матэматыкі]] пра сустасункі [[адцінак|бакоў]] і [[кут]]оў у [[трыкутнік]]у. Асноўная задача трыганамэтрыі — «[[разьвязак трыкутніка]]», то бок вылічэньне невядомых велічыняў зь вядомых.

Трыганамэтрычныя вылічэньні шырока выкарыстоўваюцца ў [[геамэтрыя|геамэтрыі]], [[фізыка|фізыцы]] і інжынэрнай справе. Вялікае значэньне мае тэхніка [[трыянгуляцыя|трыянгуляцыі]], якая дазваляе вымяраць адлегласьці да недалёкіх зораў у [[астраномія|астраноміі]], паміж арыенцірамі ў [[геаграфія|геаграфіі]], кантраляваць сыстэмы навігацыі спадарожнікаў. Таксама варта адзначыць выкарыстаньне трыганамэтрыі ў такіх вобласьцях, як [[тэорыя музыкі]], [[акустыка]], [[оптыка]], [[фінансы|аналіз фінансавых рынкаў]], [[электроніка]], [[тэорыя імавернасьцяў]], [[статыстыка]], [[біялёгія]], [[мэдыцына]], [[фармацэўтыка]], [[хімія]], [[тэорыя лікаў]], [[сэйсмалёгія]], [[мэтэаралёгія]], [[акіяналёгія]], [[картаграфія]], [[тапаграфія]], [[геадэзія]], [[архітэктура]], [[фанэтыка]], [[эканоміка]], [[электронная тэхніка]], [[машынабудаваньне]], [[кампутарная графіка]], [[крышталяграфія]].

== Гісторыя ==
Вытокі трыганамэтрыі бяруць пачатак у [[Старажытны Эгіпет|старажытным Эгіпце]], [[Бабілён]]іі й даліне [[Інд]]у больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ў прыкладаньні [[альгебра|альгебры]] й трыганамэтрыі да астранамічных вылічэньняў. [[Лагадха]] — адзіны зь вядомых у наш час старажытных матэматыкаў, які выкарыстоўваў геамэтрыю й трыганамэтрыю ў сваёй кнізе «Дж’етыша-вэданга» («Jyotisa Vedanga»), бо́льшую частку працаў якога зьнішчылі замежныя захопнікі.

Грэцкі матэматык [[Кляўдыюс Пталямэй]] таксама зрабіў вялікі ўнёсак у разьвіцьцё трыганамэтрыі.

== Выкарыстаньне ==
Трыганамэтрычныя вылічэньні выкарыстоўваюцца практычна ва ўсіх задачах [[геамэтрыя|геамэтрыі]], [[фізыка|фізыкі]] й [[інжынэрная справа|інжынэрыі]].

Вялікае значэньне мае тэхніка [[трыянгуляцыя|трыянгуляцыі]], якая дазваляе вымяраць адлегласьці да недалёкіх [[зорка|зорак]] у [[астраномія|астраноміі]], паміж арыенцірамі ў [[геаграфія|геаграфіі]], кантраляваць сыстэмы навігацыі спадарожнікаў. Таксама варта адзначыць ужываньне трыганамэтрыі ў такіх абласьцях, як тэхніка навігацыі, [[тэорыя музыкі]], [[акустыка]], [[оптыка]], аналіз фінансавых рынкаў, [[электроніка]], [[тэорыя імавернасьцяў]], [[статыстыка]], [[біялёгія]], [[мэдыцына]] (уключаючы [[ультрагукавое дасьледаваньне]] (УГД) і кампутарную [[Тамаграфія|тамаграфію]]), [[фармацэўтыка]], [[хімія]], [[тэорыя лікаў]] (і, як сьледзтва, [[крыптаграфія]]), [[сэйсмалёгія]], [[мэтэаралёгія]], [[акіяналёгія]], [[картаграфія]], шматлікія разьдзелы [[Фізыка|фізыкі]], тапаграфія й [[геадэзія]], [[архітэктура]], [[фанэтыка]], [[эканоміка]], [[электратэхніка|электронная тэхніка]], [[машынабудаваньне]], [[кампутарная графіка]], [[крышталяграфія]].

== Трыганамэтрычныя функцыі ==
{{Асноўны артыкул|Уласьцівасьці трыганамэтрычных функцыяў}}
[[Файл:Unit_circle2.svg|значак|Адзінкавая акружына]]

Возьмем адзінкавую акружыну на [[Каардынатная роўніца|роўніцы]] (цэнтар у пачатку адліку, [[радыюс]] 1). Правядзем [[прамень]] <math>l</math> з пачатка адліку й будзем адлічваць велічыню кута <math>\alpha</math> ад [[Дадатны лік|дадатнага]] праменя восі <math>Ox</math> супраць гадзіньнікавай стрэлкі. Велічыню можна лічыць у [[градус]]ах, [[радыян]]ах ці [[град]]ах. Мы будзем разглядваць у градусах. Няхай пунктам скрыжаваньня <math>l</math> з адзінкавай акружынай будзе <math>M</math>. Тады паводле азначэньня:

* функцыя '''косынус''' <math>\cos(\alpha)</math> будзе абсцысай <math>M</math>,
* функцыя '''сынус''' <math>\sin(\alpha)</math> будзе ардынатай <math>M</math>
* функцыя '''тангенс''' <math>\operatorname{tg}(\alpha)</math> будзе дзельлю ардынаты <math>M</math> і яе абсцысы: <math>\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}</math>
* функцыя '''катангенс''' <math>\operatorname{ctg}(\alpha)</math> будзе дзельлю абсцысы <math>M</math> і яе ардынаты: <math>\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}</math>
* функцыя '''сэканс''' <math>\operatorname{sec}(\alpha)</math> будзе дзельлю <math>\frac{1}{\sin(\alpha)}</math>
* функцыя '''касэканс''' <math>\operatorname{cosec}(\alpha)</math> будзе дзельлю <math>\frac{1}{\cos(\alpha)}</math>

[[Файл:Sin_proportional.svg|значак|зьлева|400пкс|Графік функцыі y = sin(x)]]
[[Файл:Cos_proportional.svg|значак|зьлева|400пкс|Графік функцыі y = cos(x)]]
<br clear="both" />

Функцыі <math>\sin(\alpha)</math> і <math>cos(\alpha)</math> вызначаныя на ўсём <math>\mathbb{R}</math>, [[абсяг значэньняў]] [-1,1] і [[пэрыядычная функцыя|пэрыяд]] <math>2\pi</math>. Функцыя <math>\operatorname{tg}(\alpha)</math> ня вызначана на <math>{{\pi*n}}</math>, <math>n\in\mathbb{Z}</math>, а функцыя <math>\operatorname{ctg}(\alpha)</math> ня вызначана на <math>\pi*n + \pi/2</math>, <math>n\in\mathbb{Z}</math>, і абедзьве маюць абсяг значэньняў <math>\mathbb{R}</math> і пэрыяд <math>\pi</math>.

== Адваротныя трыганамэтрычныя функцыі ==

Функцыя, [[Адваротная функцыя|адваротнай]] да

* <math>\sin(\alpha)</math> завецца арксынус <math>\arcsin(\alpha)</math>
* <math>\cos(\alpha)</math> завецца арккосынус <math>\arccos(\alpha)</math>
* <math>\operatorname{tg}(\alpha)</math> завецца арктангенс <math>\operatorname{arctg}(\alpha)</math>
* <math>\operatorname{ctg}(\alpha)</math> завецца агккатангенс <math>\operatorname{arcctg}(\alpha)</math>

== Асноўныя трыганамэтрычныя тоеснасьці ==
{{Асноўны артыкул|Трыганамэтрычныя формулы}}

Асноўная трыганамэтрычная тоеснасьць <math>\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1</math>.

Формула косынуса сумы: <math>\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)</math>

Формула косынуса рознасьці: <math>\cos(\alpha-\beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)</math>

Формула сынуса сумы: <math>\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta) \cos(\alpha)</math>

Формула сынуса рознасьці: <math>\sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\beta) \cos(\alpha)</math>

== Трыганамэтрычныя функцыі камплекснай зьменнай ==

[[Файл:X_sin%28y%29_Surface_Plot.png|значак|220пкс|y = sin(x) на камплекснай роўніцы]]

Разкладзем функцыі <math>\sin(x)</math> і <math>\cos(x)</math> у [[шэраг Тэйлара]]:

<math>\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^k\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}</math>

<math>\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}</math>

— і вызначым трыганамэтрычныя функцыі [[Камплексны лік|камплекснай]] зьменнай <math>z</math>:

<math>\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \dots + (-1)^k\frac{z^{2k-1}}{(2k-1)!}</math>

<math>\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}</math>

Большасьць уласьцівасьцяў гэтых функцыяў для рэчаіснай зьменнай распаўсюджваецца й на камплексную зьменную. Але на камплекснай роўніцы іх абсяг значэньняў — усё <math>\mathbb{C}</math>.

== Глядзіце таксама ==
* [[Сфэрычная трыганамэтрыя]]
* [[Эліптычная трыганамэтрыя]]
* [[Гіпэрбалічная трыганамэтрыя]]

== Літаратура ==
* Выгодский Я. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1966.
* Громов Ю. Ю., Земской Н. А., Иванова О. Г. и др. Тригонометрия. — Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. — 104 с ISBN 5-8265-0088-3.
* Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1984.

== Вонкавыя спасылкі ==
* [http://www.google.by/search?q=calculator online-калькулятар] Google

[[Катэгорыя:Трыганамэтрыя| ]]
[[Катэгорыя:Вікіпэдыя:Істотныя артыкулы]]