Пераўтварэньне Фур’е

Пераўтварэньне Фур’е — аналяг пасьлядоўнасьці каэфіцыентаў Фур’е. Тэрмін атрымаў імя францускага матэматыка пачатку XIX стагодзьдзя Жазэфа Фур’е. Пераўтварэньнем Фур’е функцыі f называецца функцыя

$g(u)={\mathcal {F}}[f](u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{iut}\,dt.$

У некаторых выпадках праўдзіцца формула

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{-iux}\,du$

— аналяг шэрагу Фур’е. Апошні інтэграл называецца адваротным пераўтварэньнем Фур’е функцыі g і абазначаецца F^-1[g]. Некаторыя апэрацыі з функцыямі пераходзяць пры пераўтварэньні Фур’е ў адпаведныя апэрацыі над іх вобразамі. Напрыклад, калі функцыя f ёсьць згортка функцый f₁ і f₂, гэта значыць:

$f(x)=(f_{1}*f_{2})(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-s)f_{2}(s)\,ds,$

то $F[f]=F[f_{1}*f_{2}]=F[f_{1}]F[f_{2}].$

Пераўтварэньне Фур’е шырока ўжываецца ў пэўных разьдзелах матэматыкі і тэарэтычнай фізыкі.

Глядзіце таксама

• Гарманічны шэраг гукаў