Лікавы аналіз

Бабілёнская гліняная таблічка YBC 7289 з анатацыямі, якая датуецца 1800—1600 да н. э. Набліжэньне квадратнага кораня з 2 складаецца з чатырох шасьцідзесяцірычных лікаў, што складае каля шасьці знакаў пасьля коскі. 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296…^[1]

Лі́кавы ана́ліз — вучэньне пра альгарытмы выкарыстаньня лікавых апраксымацыяў (у адрозьненьне ад звычайных сымбальных маніпуляцый) для вырашэньня праблем матэматычнага аналізу, ня варта блытаць з дыскрэтнай матэматыкай.

Адной з самых раньніх запісаў па матэматыцы ёсьць бабілёнская таблічка зь Ельскай Бабілёнскай калекцыі (YBC 7289), якая дае прыблізнае значэньне кораня з 2 ( ${\sqrt {2}}$ ) ў шасьцідзесяцірычнай сыстэме зьлічэньня, роўны даўжыні дыяганалі квадрата з бокам, даўжыня якога роўная 1. Калі вядомая даўжыня бока, якая складае прамавугольны трохкутнік, можна памераць даўжыню трэцяга боку, што мае вялікае значэньне для астраноміі, цясьлярнай справы і будаўніцтва^[2].

Лікавы аналіз са старажытнасьці выкарыстоўваецца для разьлікаў у матэматыцы. Ён нагадвае вышэйзгаданы мэтад прыблізнага вызначэньня ${\sqrt {2}}$ , бо не дазваляе вызначыць вынік дакладна, часьцей за ўсё з-за таго, што вызначаць яго дакладна практычна немагчыма. Замест гэтага лікавы аналіз большасьцю дазваляе вызначыць прыблізнае значэньне з рацыянальнай памылкай.

Лікавы аналіз ужываецца амаль ва ўсіх абласьцях тэхнікі і фізыкі, але ў XXI стагодзьдзі ён стаў ужывацца ў мэдыка-біялягічных навуках і нават у мастацтве прымяняюцца элемэнты навуковых разьлікаў. У нябеснай мэханіцы (плянэты, зоркі і галяктыкі) прымяняюцца звычайныя дыфэрэнцыйныя раўнаньні, для аналізу дадзеных выкарыстоўваецца лікавая лінейная альгебра, у сымуляцыі жывых вузаў у мэдыцыне і біялёгіі выкарыстоўваюцца стахастычныя дыфэрэнцыйныя раўнаньні і ланцугі Маркава.

Перад зьяўленьнем сучасных кампутараў лікавыя мэтады часта залежалі ад інтэрпаляцыі вялікіх друкаваных табліц уручную. Зь сярэдзіны XX стагодзьдзя неабходныя функцыі разьлічваюцца з дапамогай кампутараў. Нягледзячы на гэта старыя інтэрпаляцыйныя формулы закладзеныя ў альгарытмы праграмнага забесьпячэньня, якія рашаюць дыфэрэнцыйныя раўнаньні.

Гісторыя

Галіна лікавага аналізу апярэджвае вынаходзтва сучасных кампутараў на шмат стагодзьдзяў. Лінейная інтэрпаляцыя выкарыстоўваецца ўжо больш за 2 тысячы гадоў таму. Многія вялікія матэматыкі мінулага былі занятыя лікавым аналізам^[3], што відавочна з назваў важных альгарытмаў, як то такіх як Ньютанаў мэтад, інтэрпаляцыйны Лягранжаў мнагасклад, мэтад Гаўсавага выключэньня або Ойлераў мэтад. Паходжаньне сучаснага лікавага аналізу часта зьвязваюць з працай Джона фон Ноймана і Гэрмана Голдстайна 1947 году^[4]^[5], але іншыя лічаць, што сучасны лікавы аналіз бярэ свой пачатак з працы Эдмунда Тэйлара Ўітакера 1912 году^[4].

Дзеля палягчэньня вылічэньняў уручную ствараліся вялікія кнігі з формуламі і табліцамі зьвестак, якія ўтрымлівалі пункты інтэрпаляцыі і каэфіцыенты функцыяў. Выкарыстоўваючы гэтыя табліцы, часта разьлічаныя да 16 знакаў пасьля коскі або больш для некаторых функцыяў, можна было знайсьці значэньні дзеля падстаноўкі ў зададзеныя формулы і атрымаць вельмі добрыя лікавыя ацэнкі некаторых функцыяў. Кананічнай працай у гэтай галіне ўважаецца публікацыя Нацыянальнага інстытута стандартаў і тэхналёгіяў пад рэдакцыяй Абрамавіца і Стэгуна. Гэтая кніга аб’ёмам больш за тысячу старонак зь вельмі вялікай колькасьцю часта карыстаных формулаў і функцыяў, а таксама зь іхнымі значэньнямі ў многіх пунктах. Такія дапаможнікі з утрымліваньнем значэньня функцыяў сёньня ўжо ня вельмі карысныя, бо функцыю разьліку мае кампутар, але вялікі сьпіс формулаў усё яшчэ можа быць вельмі зручным.

Мэханічны калькулятар таксама быў распрацаваны як інструмэнт для ручных вылічэньняў. Гэтыя калькулятары ператварыліся ў электронныя вылічальныя машыны ў 1940-х гадах, і тады высьветлілася, што гэтыя кампутары таксама карысныя дзеля адміністрацыйных мэтаў. Але вынаходзтва кампутара таксама паўплывала на сфэру лікавага аналізу^[3], бо цяпер можна было выконваць больш доўгія і складаныя разьлікі. у 1985 годзе Інстытут матэматыкі і ейнага прыкладаньня стварыў прэмія Лэсьлі Фокса за дасягненьні ў лікавым аналізе.

Крыніцы

↑ «YBC 7289». St. Lawrence University
↑ The New Zealand Qualification authority specifically mentions this skill in document 13004 version 2, dated 17 October 2003 titled CARPENTRY THEORY: Demonstrate knowledge of setting out a building
1 2 Brezinski, C.; Wuytack, L. Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. — Elsevier. — ISBN 978-0-444-59858-5
1 2 Watson, G.A. The Birth of Numerical Analysis. — World Scientific. — С. 161–177. — ISBN 9789814469456
↑ Bultheel, Adhemar; Cools, Ronald The Birth of Numerical Analysis. — World Scientific. — Т. 10. — ISBN 978-981-283-625-0

Вонкавыя спасылкі

Лікавыя мэтады. University of Cambridge (анг.).
Лікавыя мэтады. University of Karlsruhe (анг.).
Лекцыя па лікавым аналізе. University of Pennsylvania (анг.).
Лікавы аналіз для інжынэраў. University of Waterloo (анг.).

[1] «YBC 7289». St. Lawrence University

[2] The New Zealand Qualification authority specifically mentions this skill in document 13004 version 2, dated 17 October 2003 titled CARPENTRY THEORY: Demonstrate knowledge of setting out a building

[20c-3] 1 2 Brezinski, C.; Wuytack, L. Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. — Elsevier. — ISBN 978-0-444-59858-5

[watson-4] 1 2 Watson, G.A. The Birth of Numerical Analysis. — World Scientific. — С. 161–177. — ISBN 9789814469456

[5] Bultheel, Adhemar; Cools, Ronald The Birth of Numerical Analysis. — World Scientific. — Т. 10. — ISBN 978-981-283-625-0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]