Градыент

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да навігацыі Перайсьці да пошуку
На гэтых малюнках скалярныя палі паказаныя чорным і белым колерамі, чорны колер адпавядае больш высокім значэньням. Градыент, што адпавядае гэтым палям адлюстраваны сінімі стрэлкамі.

Градые́нт — характарыстыка, якая паказвае кірунак найхутчэйшага ўзрастаньня нейкай велічыні, значэньне якой зьмяняецца ад аднаго пункту прасторы да другога. Напрыклад, калі ўзяць вышыню паверхні Зямлі над узроўнем мора (2-мерная прастора), то яе градыент у кожным пункце паверхні будзе накіраваны «ў горку».

Для выпадку трохмернай прасторы, градыентам называюць вэктарную функцыю з кампанэнтамі , , , дзе  — некаторая скалярная функцыя каардынат , , .

Калі  — функцыя зьменных , то яе градыентам называюць -мерны вэктар

кампанэнты якога роўныя частковым вытворным па ўсіх яе аргумэнтах.

Градыент абазначаюць альбо з выкарыстаньнем апэратару набла, .

З азначэньня градыенту выцякае, што:

Сэнс градыенту адвольнай скалярнай функцыі у тым, што яго скалярны здабытак з бясконца малым вэктарам перамяшчэньня дае поўны дыфэрэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным зьмяненьні каардынат у прасторы, на якім вызначана , гэта значыць лінейную частку зьмяненьня пры зруху на . Калі скарыстаць адну і тую ж літару для абазначэньня функцыі ад вэктару і функцыі ад яго каардынат, можна запісаць:

Варта заўважыць, што паколькі формула поўнага дыфэрэнцыялу не залежыць ад віду каардынат , гэта значыць ад прыроды парамэтраў x увогуле, то атрыманы дэфэрэнцыял зьяўляецца інварыянтам, гэта значыць скалярма, пры адвольных праўтварэньнях каардынат, а паколькі  — гэта вэктар, то градыент, што падлічаны звычайным чынам, аказваецца каварыянтным вэктарам, гэта значыць вэктарам, які прадстаўлены ў дуальным базісе, які толькі і можна атрымаць са скаляру пры простым сумаваньні здабыкаў каардынат звычайнага кантраварыянтнага, гэта значыць вэктарам, які запісаны ў звычайным базісе. Такім чынам, выраз (наогул кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

альбо апускаючы па правілу Айнштайна знак сумаваньня,

(у артанарміраваным базісе мы можа пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі раней). Аднак градыент застаецца каварыянтным вэктарам у адвольных крывалінейных каардынатах.

Прыклад[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Напрыклад, градыент функцыі будзе ўяўляць:

У фізыцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

У розных галінах фізыкі выкарысоўваюць панятак градыенту адвольных фізычных палёў.

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастаньне альбо памяньшэньне па якім-небудзь кірунку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпэратуры — павелічэньне альбо памяньшэньне па кірунку тэмпэратуры асяродзьдзя і г. д.

Геамэтрычны сэнс[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі :

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі у пункце пэрпэндыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэты пункт. Модуль градыенту паказвае максымальную хуткасьць зьмяненьня функцыі ў навакольлі , гэта значыць частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні адлюстроўваюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыенту паказвае крутасьць спуску альбо пад’ёму ў дадзеным пункце.

Сувязь з вытворнай па кірунку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Выкарыстоўваючы правіла дыфэрэнцаваньня складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі па кірунку роўная скалярнаму здабытку градыенту на адзінкавы вэктар :

Такім чынам, для падліку вытворнай па адвольнаму кірунку дастаткова ведаць градыент функцыі, гэта значыць вэктар, кампанэнты якога зьяўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

дзе  — каэфіцыэнты Ламэ.

Цыліндрычныя каардынаты[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Каэфіцыэнты Ламэ:

Адсюль:

Сфэрычныя каардынаты[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Каэфіцыэнты Ламэ:

Адсюль: