На гэтых малюнках скалярныя палі паказаныя чорным і белым колерамі, чорны колер адпавядае больш высокім значэньням. Градыент, што адпавядае гэтым палям адлюстраваны сінімі стрэлкамі.
Градые́нт — характарыстыка, якая паказвае кірунак найхутчэйшага ўзрастаньня нейкай велічыні, значэньне якой зьмяняецца ад аднаго пункту прасторы да другога. Напрыклад, калі ўзяць вышыню паверхні Зямлі над узроўнем мора (2-мерная прастора), то яе градыент у кожным пункце паверхні будзе накіраваны «ў горку».
Для выпадку трохмернай прасторы, градыентам называюць вэктарную функцыю з кампанэнтамі
,
,
, дзе
— некаторая скалярная функцыя каардынат
,
,
.
Калі
— функцыя
зьменных
, то яе градыентам называюць
-мерны вэктар

кампанэнты якога роўныя частковым вытворным
па ўсіх яе аргумэнтах.
Градыент абазначаюць
альбо з выкарыстаньнем апэратару набла,
.
З азначэньня градыенту выцякае, што:
Сэнс градыенту адвольнай скалярнай функцыі
у тым, што яго скалярны здабытак з бясконца малым вэктарам перамяшчэньня
дае поўны дыфэрэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным зьмяненьні каардынат у прасторы, на якім вызначана
, гэта значыць лінейную частку зьмяненьня
пры зруху на
. Калі скарыстаць адну і тую ж літару для абазначэньня функцыі ад вэктару і функцыі ад яго каардынат, можна запісаць:
Варта заўважыць, што паколькі формула поўнага дыфэрэнцыялу не залежыць ад віду каардынат
, гэта значыць ад прыроды парамэтраў x увогуле, то атрыманы дэфэрэнцыял зьяўляецца інварыянтам, гэта значыць скалярма, пры адвольных праўтварэньнях каардынат, а паколькі
— гэта вэктар, то градыент, што падлічаны звычайным чынам, аказваецца каварыянтным вэктарам, гэта значыць вэктарам, які прадстаўлены ў дуальным базісе, які толькі і можна атрымаць са скаляру пры простым сумаваньні здабыкаў каардынат звычайнага кантраварыянтнага, гэта значыць вэктарам, які запісаны ў звычайным базісе. Такім чынам, выраз (наогул кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:
альбо апускаючы па правілу Айнштайна знак сумаваньня,
(у артанарміраваным базісе мы можа пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі раней).
Аднак градыент застаецца каварыянтным вэктарам у адвольных крывалінейных каардынатах.
Напрыклад, градыент функцыі
будзе ўяўляць:

У розных галінах фізыкі выкарысоўваюць панятак градыенту адвольных фізычных палёў.
Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастаньне альбо памяньшэньне па якім-небудзь кірунку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпэратуры — павелічэньне альбо памяньшэньне па кірунку тэмпэратуры асяродзьдзя і г. д.
Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі
:

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі
у пункце
пэрпэндыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэты пункт. Модуль градыенту паказвае максымальную хуткасьць зьмяненьня функцыі ў навакольлі
, гэта значыць частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні адлюстроўваюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыенту паказвае крутасьць спуску альбо пад’ёму ў дадзеным пункце.
Выкарыстоўваючы правіла дыфэрэнцаваньня складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі
па кірунку
роўная скалярнаму здабытку градыенту
на адзінкавы вэктар
:

Такім чынам, для падліку вытворнай па адвольнаму кірунку дастаткова ведаць градыент функцыі, гэта значыць вэктар, кампанэнты якога зьяўляюцца яе частковымі вытворнымі.

дзе
— каэфіцыэнты Ламэ.
Каэфіцыэнты Ламэ:

Адсюль:

Каэфіцыэнты Ламэ:

Адсюль:
