Лік

Лік — адзін з асноўных паняткаў матэматыкі. Ён паходзіць з даўніх часоў і паступова пашыраецца адпаведна таму, як пашыралася сфэра чалавечай дзейнасьці і зьяўляліся новыя праблемы, што патрабавалі колькаснага апісаньня і вывучэньня.

Мноствы лікаў суадносяцца наступным чынам:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O}$

Гісторыя разьвіцьця лікаў

Здагадкі пра першыя лікі зьявіліся ў дагістарычны час, калі чалавеку запатрабавалася лічыць прадметы. Паступова паняцьце «шмат» зрушвалася на «больш за два», «больш за тры», «больш за сем», «больш за сорак» і гэтак далей. Так быў уведзены натуральны шэраг ($\mathbb {N}$). Выкарыстоўваньне «эталоннага мноства» (каменьчыкі, вузельчыкі і падобныя), пачало фармавацца абстрактнае паняцьце ліка.

У Старажытным Эгіпце выкарыстоўваліся аліквотныя драбы, то бок драбы выгляду ${\frac {1}{n}}$. Значна больш драбы, як і увогуле матэматычныя веды, былі разьвітыя ў Старажытным Міжрэччы. У Грэцыі лікам быў «збор адзінак», то бок толькі натуральны лік. Грэкі ведалі драбы і ўмелі апераваць зь імі, але не адносілі тасункі да лікаў. В 3 стагодзьдзі нашай эры Дыафант упершыню пачынае разглядаць адмоўныя лікі, але пакуль толькі як дапаможную прыладу. У прыватнасьці, калі падчас разьвязаньня раўнаньняў ён атрымоўвае дадатныя і адмоўныя адказы, вынікам ён пакідае толькі дадатны лік. У яго працах драбы ўжо таксама адносяцца да лікаў, і нават зьяўляецца паняцьце пра ірацыянальныя лікі.

Толькі ў 16 стагодзьдзе Сыман Стывэн уключае ірацыянальныя лікі ў шэраг лікаў. З асьцярожнасьцю ён адносіць туды і адмоўныя лікі, але па-ранейшаму называе адмоўныя карані альгебраічнага раўнаньня «фіктыўнымі». Геамэтрычную трактоўку адмоўным лікам даюць Жырар і Дэкарт. Канцэпцыя адзінага паняцьця рэчаіснага ліка цалкам перамагла толькі ў 17 стагодзьдзі ў працах Валіса і Ньютана. Тады ж ірацыянальныя лікі пачынаюць дзяліць на альгебраічныя і трансцэндэнтныя.

Першае згадваньне уяўных лікаў сустракаецца у Карданы ў сэрадзіне 16 стагодзьдзя. Некалькі год пазьней Рафаэль Бамбэлі пачынае разьвіваць тэорыю уяўных лікаў. У 17 стагодзьдзі ўжо шматлікія матэматыкі разумеюць карыснасьць уяўных лікаў, але, як і раней адмоўныя, ставяцца да іх толькі як да прылады.

Тэорыя адмоўных лікаў не задавальняла матэматыкаў, і у 18 стагодзьдзі працягваюцца спробы ўвесьці і абгрунтаваць аперацыі зь імі, але стварыць лягічна завершаную тэорыю не атрымалася ні ў аднаго навукоўца. Першыя тэорыі адмоўных лікаў былі распрацаваныя ў другой трэці 19 стагодзьдзі Гамільтанам і Грамсанам.

Камплексныя лікі $\mathbb {C}$, якія выкарыстоўваліся матэматыкамі як нейкая зручная прылада, былі складаныя для зразуменьня, таму што ня мелі геамэтрычай інтэрпрэтацыі. Поўнае геамэтрычнае вытлумачэньне прывёў Каспар Вэсэль у канцы 18 стагодзьдзя. Нажаль, гэтая праца стала вядомай толькі ў канцы 19 стагодзьдзі, калі была перакладзена на французскую мову. Для прыняцьця камплекснага ліка асноўную ролю згуляў Гаус у пачатку 19 стагодзьдзя.

У 1853 Гамільтан пашырае паняцьце ліка да кватэрніонаў $\mathbb {H}$, адмовіўшыся ад камутатыўнасьці, а неўзабаве Грэйўс, Кэлі і Кіркман даюць новае абагуьлненьне — актаніоны (актавы) $\mathbb {O}$, якія не валодаюць яшчэ і уласьцівасьцю асацыятыўнасьці.

Мноства лікаў як пашырэньня

Натуральны шэраг $\mathbb {N}$ і асноўныя аперацыі складаньне, адыманьне, множаньне і дзяленьне вядомы з старажытных часоў. Іх можна разглядваць ў аксыёматыцы Пеаны. На натуральных ліках карэктна зададзеныя толькі аперацыі складаньня і множаньня.

Пашырэньне натуральнага шэрага па аперацыі адыманьня дае шэраг цэлых лікаў $\mathbb {Z}$. Пашырэньне яго па аперацыі дзяленьня дае мноства рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$.

Цяпер усе аперацыі (за выключэньнем дзяленьня на нуль) зададзеныя карэкнта. Але на рацыянальных ліках не здзяйсняльны пераход да ліміта. Замыканьне мноства $\mathbb {Q}$ дае шэраг $\mathbb {R}$ рэчаісных лікаў.

Альгебраічнае замыканьне $\mathbb {R}$, то бок дадаваньне мноства караней паліномаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, дае камплексную плоскасьць $\mathbb {C}$. Далей пашырэньне да гіпэркамплексных лікаў дае мноства кватэрніонаў $\mathbb {H}$, на якім адсутнічае камутатыўнасьць, а потым мноства актавіонаў (актаў, альгебру Кэлі) $\mathbb {O}$, на якім адсутнічае асацыятыўнасьць. Наступнае пашырэньне магчыма толькі з стратай дыстрыбутыўнасьці і не мае практычнага сэнсу.

Прадстаўленьне лічбаў у памяці кампутара

Для прадстаўленьня натуральнай лічбы ў памяці кампутара, яно звычайна пераводзіцца ў двайковую сыстэму зьлічэньня. Для ўяўленьня адмоўных лічбаў выкарыстоўваецца г. зв. дадатковы код лічбы, які атрымліваецца шляхам даданьня адзінкі да інвэртаванага прадстаўленьня модуля дадзенай адмоўнай лічбы ў двайковай сыстэме зьлічэньня.

Прадстаўленьне сапраўдных лічбаў у памяці кампутара мае некаторыя абмежаваньні зьвязаныя з сыстэмай зьлічэньня, якая выкарыстоўваецца, а таксама абмежаванасьцю аб’ёму памяці, якая выдзяляецца пад лічбы. Сапраўдныя лічбы звычайна прадстаўляюцца ў выглядзе лічбай з плавальнай коскай. пры гэтым толькі некаторые з сапраўдных лічбаў могуць быць прадстаўленыя ў памяці кампутара дакладным значэньнем, у той час як астатнія лічбы прадстаўляюцца набліжанымі значэньнямі. У найбольш распаўсюджаным фармаце лічба з плавальнай коскай прадстаўляецца ў выглядзе пасьлядоўнасьці бітаў, частка зь якіх кадыруе сабой мантысу лічбы, іншая частка — паказальнік ступені, і яшчэ адзін біт выкарыстоўваецца для пазначэньня знака лічбы.

Літаратура

История математики с древнейших времён до начала XIX века под редакцией А. П. Юшкевича

Дж. Стиллвелл, Математика и её история

Глядзі таксама

• Мноствы лікаў
  • Натуральны лік
  • Цэлы лік
  • Адмоўны лік
  • Рацыянальны лік
  • Ірацыянальны лік
  • Рэчаісны лік
  • Камлексны лік
  • Просты лік
• Лічба
• Дроб
• Сыстэма зьлічэньня

Вонкавыя спасылкі

Лік — сховішча мультымэдыйных матэрыялаў