Натуральны лік: розьніца паміж вэрсіямі

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
д робат дадаў: pms:Nùmer natural
Vseslav (гутаркі | унёсак)
→‎Гісторыя: дробная праўка
Радок 13: Радок 13:
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку [[18 стагодзьдзе|18 стагодзьдзя]] [[Готфрыд Вільгэльм Ляйбніц|Ляйбніц]] паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы [[Арытмэтыка|арытметыкі]]. Глыбокае дасьледаваньне правёў [[Гэрман Гюнтэр Грасман|Грасман]] толькі ў [[1861]], а поўную сыстэму прапанаваў [[Джузэпа Пэана|Пэана]] ў [[1889]].
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку [[18 стагодзьдзе|18 стагодзьдзя]] [[Готфрыд Вільгэльм Ляйбніц|Ляйбніц]] паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы [[Арытмэтыка|арытметыкі]]. Глыбокае дасьледаваньне правёў [[Гэрман Гюнтэр Грасман|Грасман]] толькі ў [[1861]], а поўную сыстэму прапанаваў [[Джузэпа Пэана|Пэана]] ў [[1889]].


У [[1878]] [[Гэорг Кантар|Кантар]] увёў паняцьце "[[Магутнасьць мноства|магутнасьці мноства]]", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "[[Каардынальны лік|каардынальныя]]", у [[1900]] [[Давыд Гільбэрт|Гільбэрт]] зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў [[1932]] [[|Курт Гёдэль|Гёдэль]] паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы [[Аксыёма|аксіём]].
У [[1878]] [[Гэорг Кантар|Кантар]] увёў паняцьце "[[Магутнасьць мноства|магутнасьці мноства]]", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "[[Каардынальны лік|каардынальныя]]", у [[1900]] [[Давыд Гільбэрт|Гільбэрт]] зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў [[1932]] [[Курт Гёдэль|Гёдэль]] паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы [[Аксыёма|аксіём]].


== Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэаны ==
== Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэаны ==

Вэрсія ад 00:50, 4 ліпеня 2009

Натуральныя лікі - гэта элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4...}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.

У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г.зв. "пашыраны натуральны шэраг" {0, 1, 2, 3, 4...}.

Гісторыя

Патрэбнасьць у натуральных лікаў узьнікла пры лічэньні прадметаў. Перш гэта было два прадмета - па аднаму ў руках, тры - трэці клалі ў ног, пяць - па колькасьці пальцаў, потым дзесяць і двадцаць. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноства" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае уяўленьне ліку.

У Старажытнай Грэцыі лікамі называлі толькі натуральныя лікі (як мноства адзінак) да 3 стагодзьдзя.

З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.

У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.

Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэаны

Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства , у якім для нейкіх элемэнтаў і існуе адносіна " накіроўваецца за (пазначаецца як ) і задавальняе наступным аксіёмам:

  1. існуе 1, якое ня накіроўваецца ні за адным элемэнтам,
  2. для любога існуе , якое накіроўваецца за ім, пры чым толькі адно,
  3. любой элемэнт накіроўваецца ня больш чым за аднім элемэнтам,
  4. любое мноства з уласьцівасьцямі
    • 1 прыналежыць ,
    • калі прыналежыць , то і прыналежыць

- супадае з (аксіёма індукцыі)

На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.

Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне

Пашыраны натуральны рад можна ўвесьці як магутнасьць канчаткована мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут адзначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:

  • 0 = { }
  • 1 = {0} = {{ }}
  • 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
  • 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
  • n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}

Уласьцівасьці

Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).

Літаратура

  • Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
  • История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич

Шаблён:Link FA