Уласныя лікі, вэктары і прасторы: розьніца паміж вэрсіямі

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
д робат зьмяніў: fa:مسئله مقادیر ویژه
д робат зьмяніў: fa:مقدار ویژه و بردار ویژه
Радок 48: Радок 48:
[[eo:Ajgeno kaj ajgenvektoro]]
[[eo:Ajgeno kaj ajgenvektoro]]
[[es:Vector propio y valor propio]]
[[es:Vector propio y valor propio]]
[[fa:مسئله مقادیر ویژه]]
[[fa:مقدار ویژه و بردار ویژه]]
[[fi:Ominaisarvo, ominaisvektori ja ominaisavaruus]]
[[fi:Ominaisarvo, ominaisvektori ja ominaisavaruus]]
[[fr:Valeur propre, vecteur propre et espace propre]]
[[fr:Valeur propre, vecteur propre et espace propre]]

Вэрсія ад 10:40, 14 ліпеня 2008

Мал. 1. У гэтым пераўтварэньні Моны Лізы выява была дэфармаваная такім чынам, што яе вертыкальная вось не зьмянілася. (Заўвага: куты другой выявы абрэзаныя.) Блакітны вэктар зьмяніў напрамак, але ж чырвоны застаўся нязьменным. Чырвоны вэктар і ёсьць уласным вэктарам пераўтварэння (у адрозьненьне ад блакітнага. З прычыны таго, что чырвоны вэктар не расьцягнуўся і ня сьціснуўся, яго ўласны лік ёсьць 1. Адначасова ўсе вэктары, накіраваныя ўздоўж тое самае вертыкальнае рысы, што й чырвоны, таксама ёсьць уласнымі вэктарамі (з тым жа ўласным лікам). Яны ўтвараюць уласную прастору гэтага ўласнага ліку.

У матэматыцы ўласным вэктарам (eigenvector) пераўтварэньня[1] ёсьць ненулявы вэктар, напрамак якога не зьмяняецца паводле пераўтварэньня. Каэфіцыент расьцягненьня вэктару ёсьць яго ўласным лікам (гл. прыклад на малюнку 1). Вельмі часта пераўтварэньне цалкам апісваецца яго ўласнымі лікамі й вэктарамі. Уласная простора ёсьць мноствам уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі.

Упершыню ў гэтым сэнсе слова ўласны было выкарыстана нямецкім матэматыкам Гільбертам у 1904 годзе. Нямецкае слова "eigen" можна перакласьці як "уласны", "індывідуальны".

Азначэньні

Пераўтварэньні прасторы (накшталт зруху, павароту, адлюстраваньня, расьцягненьня, сьцісканьня і іншых) могуць быць апісаныя тым, як яны ўзьдзейнічаюць на вэктары.

  • Уласныя вэктары пераўтварэньняў ёсьць вэктарамі[2], якія пасьля пераўтварэньня не зьмяніліся ці модуль якіх памножыўся на каэфіцыент расьцягненьня.
  • Уласны лік уласнага вэктару ёсьць яго каэфіцыентам расьцягненьня.
  • Уласная прастора ёсьць прастора, якая складаецца з усіх уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі разам з нуль-вэктарам, які сам ня ёсьць уласным вэктарам.

Раўнаньне ўласнага ліку

Ненулявы вэктар ёсьць уласным вэктарам, а – уласным лікам пераўтварэньня T калі праўдзівае раўнаньне:

,

дзе – вэктар, які ёсьць рэзультатам пераўтварэньня T над вэктарам .

Няхай ёсьць лінейным пераўтварэньнем (а, значыць, раўнаньне праўдзівае для любых скаляраў a, b ды вэктараў і ). Вылучым базіс у гэтай вэктарнай прасторы. Тады і могуць быць запісаныя адносна базіса ў выглядзе матрыцы і вэртыкальнага вэктара . Раўнаньне ўласнага ліку можа быць запісаным наступным чынам:


Заўвагі

  1. ^ У дадзеным выпадку разглядаюцца толькі лінейныя пераўтварэньні з вэктарнае прасторы ў гэтую ж самую вэктарную прастору.
  2. ^ З прычыны таго, што ўсе лінейныя пераўтварэньні пакідаюць нуль-вэктар нязьменным, ён ня лічыцца ўласным вэктарам.

Шаблён:Link FA Шаблён:Link FA Шаблён:Link FA