Натуральны лік: розьніца паміж вэрсіямі
д r2.7.1) (робат дадаў: bo:རང་བྱུང་གྲངས། |
→Гісторыя: дапаўненьне, артаграфія |
||
Радок 6: | Радок 6: | ||
== Гісторыя == |
== Гісторыя == |
||
Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік “два” зьвязваўся з ворганамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. ”Вочы” ў [[індыйцы|індыйцаў]], “Крылы” ў [[тыбэтцы|тыбэтцаў]] азначалі таксама “два”. З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноствы" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі. |
|||
Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў [[3 стагодзьдзе да н.э.|III стагодзьдзі да н. э.]] [[Архімэд]] у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. [[Эўклід]] яшчэ ў [[3 стагодзьдзе да н.э.|III стагодзьдзі да н. э.]] вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” [[Старажытная Грэцыя|грэцкага]] матэматыка ([[нэапітагарэйцы|нэапітагарэйца]]) [[Нікамахз Геразы|Нікамах з Геразы]], які жыў каля [[100|100 г. н. э.]] Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на [[лацінская мова|латцінскую мову]] [[рымс]]кім аўтарам [[Баэцый|Баэцыем]] ([[480]]–[[524]]), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных [[рукапіс]]ах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў [[Францыя|францускага]] філёзафа і матэматыка [[Жан ля Рон д’Алямбэр|Ж. д’Алямбэра]] ([[1717]]–[[1783]]). |
|||
Патрэбнасьць у натуральных лікаў узьнікла пры лічэньні прадметаў. Перш гэта было два прадмета - па аднаму ў руках, тры - трэці клалі ў ног, пяць - па колькасьці пальцаў, потым дзесяць і двадцаць. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноства" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае уяўленьне ліку. |
|||
У [[Старажытная Грэцыя|Старажытнай Грэцыі]] лікамі называлі толькі натуральныя лікі (як мноства адзінак) да [[з стагодзьдзе|3 стагодзьдзя]]. |
|||
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку [[18 стагодзьдзе|18 стагодзьдзя]] [[Готфрыд Вільгэльм Ляйбніц|Ляйбніц]] паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы [[Арытмэтыка|арытметыкі]]. Глыбокае дасьледаваньне правёў [[Гэрман Гюнтэр Грасман|Грасман]] толькі ў [[1861]], а поўную сыстэму прапанаваў [[Джузэпа Пэана|Пэана]] ў [[1889]]. |
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку [[18 стагодзьдзе|18 стагодзьдзя]] [[Готфрыд Вільгэльм Ляйбніц|Ляйбніц]] паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы [[Арытмэтыка|арытметыкі]]. Глыбокае дасьледаваньне правёў [[Гэрман Гюнтэр Грасман|Грасман]] толькі ў [[1861]], а поўную сыстэму прапанаваў [[Джузэпа Пэана|Пэана]] ў [[1889]]. |
Вэрсія ад 16:58, 23 чэрвеня 2011
Натуральныя лікі - гэта элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4...}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.
У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г.зв. "пашыраны натуральны шэраг" {0, 1, 2, 3, 4...}.
Гісторыя
Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік “два” зьвязваўся з ворганамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. ”Вочы” ў індыйцаў, “Крылы” ў тыбэтцаў азначалі таксама “два”. З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноствы" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі.
Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў III стагодзьдзі да н. э. Архімэд у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. Эўклід яшчэ ў III стагодзьдзі да н. э. вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” грэцкага матэматыка (нэапітагарэйца) Нікамах з Геразы, які жыў каля 100 г. н. э. Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на латцінскую мову рымскім аўтарам Баэцыем (480–524), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных рукапісах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў францускага філёзафа і матэматыка Ж. д’Алямбэра (1717–1783).
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.
У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.
Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэана
Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства , у якім для нейкіх элемэнтаў і існуе адносіна " накіроўваецца за (пазначаецца як ) і задавальняе наступным аксіёмам, якія атрымалі назву аксіёмаў Пэана:
- існуе 1, якое ня накіроўваецца ні за адным элемэнтам,
- для любога існуе , якое накіроўваецца за ім, пры чым толькі адно,
- любой элемэнт накіроўваецца ня больш чым за аднім элемэнтам,
- любое мноства з уласьцівасьцямі
- 1 прыналежыць ,
- калі прыналежыць , то і прыналежыць
- супадае з (аксіёма індукцыі)
На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.
Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне
Пашыраны натуральны рад можна ўвесьці як магутнасьць канчаткована мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут адзначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:
- 0 = { }
- 1 = {0} = {{ }}
- 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
- 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
- n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}
Уласьцівасьці
Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).
Літаратура
- Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич
Гэта — накід артыкула па матэматыцы. Вы можаце дапамагчы Вікіпэдыі, пашырыўшы яго. |