Натуральны лік

Натуральныя лікі - гэта элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4...}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.

У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г.зв. "пашыраны натуральны шэраг" {0, 1, 2, 3, 4...}.

Гісторыя

Патрэбнасьць у натуральных лікаў узьнікла пры лічэньні прадметаў. Перш гэта было два прадмета - па аднаму ў руках, тры - трэці клалі ў ног, пяць - па колькасьці пальцаў, потым дзесяць і двадцаць. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноства" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае уяўленьне ліку.

У Старажытнай Грэцыі лікамі называлі толькі натуральныя лікі (як мноства адзінак) да 3 стагодзьдзя.

З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.

У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.

Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэаны

Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства $\mathbb {N}$, у якім для нейкіх элемэнтаў $a$ і $b$ існуе адносіна "$b$ накіроўваецца за $a$ (пазначаецца як $a'$) і задавальняе наступным аксіёмам:

1. існуе 1, якое ня накіроўваецца ні за адным элемэнтам,
2. для любога $a$ існуе $a'$, якое накіроўваецца за ім, пры чым толькі адно,
3. любой элемэнт накіроўваецца ня больш чым за аднім элемэнтам,
4. любое мноства $\mathbb {M}$ з уласьцівасьцямі
   • 1 прыналежыць $\mathbb {M}$,
   • калі $a$ прыналежыць $\mathbb {M}$, то і $a'$ прыналежыць $\mathbb {M}$

- супадае з $\mathbb {N}$ (аксіёма індукцыі)

На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.

Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

1. $a+1=a'$
2. $a+b'=(a+b)'$

Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

1. $a\times 1=a$
2. $a\times b'=a\times b+a$

Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне

Пашыраны натуральны рад можна ўвесьці як магутнасьць канчаткована мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут адзначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:

• 0 = { }
• 1 = {0} = {{ }}
• 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
• 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
• n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}

Уласьцівасьці

Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).

Літаратура

• Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина

• История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич