Натуральны лік: розьніца паміж вэрсіямі
д робат дадаў: ga:Uimhreacha aiceanta; касмэтычныя зьмены |
д робат зьмяніў: ml:എണ്ണൽ സംഖ്യ |
||
Радок 115: | Радок 115: | ||
[[lv:Naturāls skaitlis]] |
[[lv:Naturāls skaitlis]] |
||
[[mk:Природен број]] |
[[mk:Природен број]] |
||
[[ml: |
[[ml:എണ്ണൽ സംഖ്യ]] |
||
[[mn:Натурал тоо]] |
[[mn:Натурал тоо]] |
||
[[ms:Nombor asli]] |
[[ms:Nombor asli]] |
Вэрсія ад 16:20, 5 лютага 2010
Натуральныя лікі - гэта элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4...}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.
У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г.зв. "пашыраны натуральны шэраг" {0, 1, 2, 3, 4...}.
Гісторыя
Патрэбнасьць у натуральных лікаў узьнікла пры лічэньні прадметаў. Перш гэта было два прадмета - па аднаму ў руках, тры - трэці клалі ў ног, пяць - па колькасьці пальцаў, потым дзесяць і двадцаць. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноства" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае уяўленьне ліку.
У Старажытнай Грэцыі лікамі называлі толькі натуральныя лікі (як мноства адзінак) да 3 стагодзьдзя.
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.
У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.
Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэаны
Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства , у якім для нейкіх элемэнтаў і існуе адносіна " накіроўваецца за (пазначаецца як ) і задавальняе наступным аксіёмам:
- існуе 1, якое ня накіроўваецца ні за адным элемэнтам,
- для любога існуе , якое накіроўваецца за ім, пры чым толькі адно,
- любой элемэнт накіроўваецца ня больш чым за аднім элемэнтам,
- любое мноства з уласьцівасьцямі
- 1 прыналежыць ,
- калі прыналежыць , то і прыналежыць
- супадае з (аксіёма індукцыі)
На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.
Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне
Пашыраны натуральны рад можна ўвесьці як магутнасьць канчаткована мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут адзначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:
- 0 = { }
- 1 = {0} = {{ }}
- 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
- 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
- n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}
Уласьцівасьці
Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).
Літаратура
- Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич
Гэта — накід артыкула па матэматыцы. Вы можаце дапамагчы Вікіпэдыі, пашырыўшы яго. |