Натуральны лік: розьніца паміж вэрсіямі

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
д Removing Link FA template (handled by wikidata)
д афармленьне
Радок 1: Радок 1:
[[Файл:Three apples.svg|праваруч|thumb|Натуральныя лікі можна выкарыстоўваць пры лічэньні (адзін яблык, два яблыка, тры яблыка, ...).]]
[[Файл:Three apples.svg|міні|Натуральныя лікі можна выкарыстоўваць пры лічэньні (адзін яблык, два яблыкі, тры яблыкі, )]]
'''Натуральныя лікі''' - гэта элемэнты бясконцага [[мноства]] <nowiki>{1, 2, 3, 4...}</nowiki>. Гэта мноства называецца '''натуральны шэраг'''. Яго вывучаюць [[арытмэтыка]], [[тэорыя лікаў]] і [[камбінаторыка]].
'''Натуральныя лікі''' элемэнты бясконцага [[мноства]] <nowiki>{1, 2, 3, 4…}</nowiki>. Гэта мноства называецца '''натуральны шэраг'''. Яго вывучаюць [[арытмэтыка]], [[тэорыя лікаў]] і [[камбінаторыка]].


У некаторых навуках ([[Тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]], [[Матэматычная лёгіка|матэматычнай лёгіцы]], [[Інфарматыка|інфарматыцы]]) выкарыстоўваюць г.зв. "пашыраны натуральны шэраг" <nowiki>{0, 1, 2, 3, 4...}</nowiki>.
У некаторых навуках ([[Тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]], [[Матэматычная лёгіка|матэматычнай лёгіцы]], [[Інфарматыка|інфарматыцы]]) выкарыстоўваюць г. зв. «пашыраны натуральны шэраг» <nowiki>{0, 1, 2, 3, 4…}</nowiki>.


== Гісторыя ==
== Гісторыя ==
Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік “два” зьвязваўся з ворганамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. ”Вочы” ў [[індыйцы|індыйцаў]], “Крылы” ў [[тыбэтцы|тыбэтцаў]] азначалі таксама “два”. З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноствы" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі.
Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік «два» зьвязваўся з органамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. «Вочы» ў [[індыйцы|індыйцаў]], «Крылы» ў [[тыбэтцы|тыбэтцаў]] азначалі таксама «два». З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць «эталённыя мноствы» зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі.


Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў [[3 стагодзьдзе да н.э.|III стагодзьдзі да н. э.]] [[Архімэд]] у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. [[Эўклід]] яшчэ ў [[3 стагодзьдзе да н.э.|III стагодзьдзі да н. э.]] вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” [[Старажытная Грэцыя|грэцкага]] матэматыка ([[нэапітагарэйцы|нэапітагарэйца]]) [[Нікамахз Геразы|Нікамах з Геразы]], які жыў каля [[100|100 г. н. э.]] Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на [[лацінская мова|латцінскую мову]] [[рымс]]кім аўтарам [[Баэцый|Баэцыем]] ([[480]][[524]]), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных [[рукапіс]]ах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў [[Францыя|францускага]] філёзафа і матэматыка [[Жан ля Рон д’Алямбэр|Ж. д’Алямбэра]] ([[1717]][[1783]]).
Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў [[3 стагодзьдзе да н. э.|III стагодзьдзі да н. э.]] [[Архімэд]] у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. [[Эўклід]] яшчэ ў [[3 стагодзьдзе да н. э.|III стагодзьдзі да н. э.]] вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” [[Старажытная Грэцыя|грэцкага]] матэматыка ([[нэапітагарэйцы|нэапітагарэйца]]) [[Нікамахз Геразы|Нікамах з Геразы]], які жыў каля [[100|100 г. н. э.]] Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на [[лацінская мова|латцінскую мову]] [[рымс]]кім аўтарам [[Баэцый|Баэцыем]] ([[480]][[524]]), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных [[рукапіс]]ах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў [[Францыя|францускага]] філёзафа і матэматыка [[Жан ля Рон д’Алямбэр|Ж. д’Алямбэра]] ([[1717]][[1783]]).


З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку [[18 стагодзьдзе|18 стагодзьдзя]] [[Готфрыд Вільгэльм Ляйбніц|Ляйбніц]] паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы [[Арытмэтыка|арытметыкі]]. Глыбокае дасьледаваньне правёў [[Гэрман Гюнтэр Грасман|Грасман]] толькі ў [[1861]], а поўную сыстэму прапанаваў [[Джузэпа Пэана|Пэана]] ў [[1889]].
З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку [[18 стагодзьдзе|18 стагодзьдзя]] [[Готфрыд Вільгэльм Ляйбніц|Ляйбніц]] паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы [[Арытмэтыка|арытметыкі]]. Глыбокае дасьледаваньне правёў [[Гэрман Гюнтэр Грасман|Грасман]] толькі ў [[1861]], а поўную сыстэму прапанаваў [[Джузэпа Пэана|Пэана]] ў [[1889]].
Радок 35: Радок 35:


== Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне ==
== Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне ==

Пашыраны натуральны шэраг можна ўвесьці як [[магутнасьць]] канечнага мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут азначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:
Пашыраны натуральны шэраг можна ўвесьці як [[магутнасьць]] канечнага мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут азначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:


Радок 45: Радок 44:


== Уласьцівасьці ==
== Уласьцівасьці ==

Мноства натуральных лікаў [[Зьлічанае мноства|зьлічальнае]], абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя [[поўны парадак]], апэрацыі [[складаньне]] й [[множаньне]] (для ўсіх лікаў), [[адыманьне]] й [[дзяленьне]] (не для ўсіх лікаў).
Мноства натуральных лікаў [[Зьлічанае мноства|зьлічальнае]], абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя [[поўны парадак]], апэрацыі [[складаньне]] й [[множаньне]] (для ўсіх лікаў), [[адыманьне]] й [[дзяленьне]] (не для ўсіх лікаў).
== Літаратура ==
== Літаратура ==

* ''Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина''
* ''Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина''

* ''История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич''
* ''История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич''

* ''Зорич В. А. Математический анализ. Часть І.''
* ''Зорич В. А. Математический анализ. Часть І.''

* ''Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.''
* ''Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.''

* ''Глейзер Г. И. История математики в школе.''
* ''Глейзер Г. И. История математики в школе.''

* ''Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?''
* ''Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?''



Вэрсія ад 13:42, 20 ліпеня 2015

Натуральныя лікі можна выкарыстоўваць пры лічэньні (адзін яблык, два яблыкі, тры яблыкі, …)

Натуральныя лікі — элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4…}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.

У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г. зв. «пашыраны натуральны шэраг» {0, 1, 2, 3, 4…}.

Гісторыя

Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік «два» зьвязваўся з органамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. «Вочы» ў індыйцаў, «Крылы» ў тыбэтцаў азначалі таксама «два». З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць «эталённыя мноствы» — зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі — узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі.

Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў III стагодзьдзі да н. э. Архімэд у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. Эўклід яшчэ ў III стагодзьдзі да н. э. вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” грэцкага матэматыка (нэапітагарэйца) Нікамах з Геразы, які жыў каля 100 г. н. э. Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на латцінскую мову рымскім аўтарам Баэцыем (480524), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных рукапісах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў францускага філёзафа і матэматыка Ж. д’Алямбэра (17171783).

З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.

У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.

Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэана

Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства , у якім для нейкіх элемэнтаў і існуе адносіна " накіроўваецца за (пазначаецца як ) і задавальняе наступным аксіёмам, якія атрымалі назву аксіёмаў Пэана:

  1. існуе 1, якое не накіроўваецца ні за ніводным элемэнтам,
  2. для любога існуе , якое накіроўваецца за ім, прычым толькі адно,
  3. любы элемэнт накіроўваецца ня больш чым за адным элемэнтам,
  4. любое мноства з уласьцівасьцямі
    • 1 прыналежыць ,
    • калі прыналежыць , то і прыналежыць

- супадае з (аксіёма індукцыі)

На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.

Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне

Пашыраны натуральны шэраг можна ўвесьці як магутнасьць канечнага мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут азначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:

  • 0 = { }
  • 1 = {0} = {{ }}
  • 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
  • 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
  • n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}

Уласьцівасьці

Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).

Літаратура

  • Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
  • История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть І.
  • Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе.
  • Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?