Арытмэтыка

«Арытмэтыка» працы Ганса Зэбальда Бэгама. XVI стагодзьдзе

Арытмэ́тыка — найстарэйшая ды найпрасьцейшая галіна матэматыкі. Ужываецца як ў навуковых падліках, так і ў штодзённым побыце. Вывучае найпрасьцейшыя лікі ды найпрасьцейшыя апэрацыі над лікамі. У агульным выкарыстаньні, яна ставіцца да простых уласьцівасьцях пры выкарыстаньні традыцыйных апэрацый складаньня, адыманьня, множаньня й дзяленьня зь невялікімі значэньнямі лікаў. Некаторыя сучасныя навукоўцы ўслед за Гаўсам адносяць да арытмэтыцы больш складаныя аспэкты, у тым ліку комлексныя лікі і лягарытмаванье. Вывучэньнем індывідуальных уласьцівасьцяў цэлых лікаў займаецца вышэйшая арытмэтыка, або тэорыя лікаў. Тэарэтычная арытмэтыка займаецца на вызначэньні й аналізе панятку ліку, у той час як фармальная арытмэтыка апэруе лягічнымі пабудовамі прэдыкатаў і аксіёмаў арытмэтыцы. Арытмэтыка зьяўляецца адной з асноўных матэматычных навук, яна цесна зьвязана з альгебрай і тэорыяй лікаў.

Прычынай ўзьнікненьня арытмэтыкі сталася практычная патрэба ў падліку, найпростых вымярэньнях і вылічэньнях. Навука разьвівалася разам з ускладненьнем задачаў і патрабаваньняў. Вялікі ўнёсак у разьвіцьцё арытмэтыкі зрабілі старажытнагрэцкія матэматыкі, у прыватнасьці пітагарэйцы, якія спрабавалі з дапамогай лікаў вызначыць усе заканамернасьці сьвету. У Індыі зьявілася дзесятковая пазыцыйны сыстэма зьлічэньня, якая дзякуючы матэматыкам Усходу распаўсюдзілася па сьвеце, у прыватнасьці ў Эўропе й Паўночнай Афрыцы. Зьяўленьнем дзесятковых дробаў сьвет абавязаны арабскаму навукоўцу Джамшыду аль-Кашы, які даў вызначэньне дробам і правілы апэрацыяў на імі у пачатку XV стагодзьдзя. Многія пакаленьні навукоўцаў спрабавалі пабудаваць тэарэтычнае абгрунтаваньне арытмэтыкі, сыстэму аксіёмаў і правілаў арытмэтычных дзеяньняў. Сучасную аксіёматычную пабудову прывёў Джузэпэ Пеяно ў XIX стагодзьдзі. Несупярэчлівасьць дадзенай фармальнай пабудовы арытмэтыкі была паказана Гергартам Генцэнам ў 1936 годзе.

Арытмэтыка зьяўляецца адным зь сямі свабодных мастацтваў, гэта значыць навучальных навук, годных вольнага чалавека, і якія не патрабуюць фізычнай працы.

Гісторыя

З пункту гледжаньня Ёсіфа Флявіюса Аўраам быў першы, хто навучыў эгіпцянаў арытмэтыцы й астраноміі. На думку Плятона й Дыягена Ляэртцкага вылічальнае мастацтва быў паслана эгіпцянам ад бога Тэўта, або Тота. Першыя дакладныя зьвесткі аб узроўні арытмэтыкі былі атрыманы з Бабілёна й Старажытнага Эгіпта й ставяцца да II—III тысячагодзьдзя да н. э.

Старажытныя тэксты й сыстэмы зьлічэньня

Частка папіруса Райнда

Матэматычныя папірусы Старажытнага Эгіпта былі складзеныя для навучальных мэтаў, яны ўтрымлівалі задачы з рашэньнямі, дапаможныя табліцы й правілы дзеяньняў над цэлымі лікамі й дробамі, сустракаюцца арытмэтычныя й геамэтрычныя прагрэсіі, а таксама раўнаньні. Эгіпцяне карысталіся дзесятковай сыстэмай зьлічэньня. Эгіпецкія матэматычныя тэксты асаблівую ўвагу надавалі вылічэньням і ўзьнікаючым пры гэтым цяжкасьцяў, ад якіх шмат у чым залежаць мэтады рашэньня задачаў. Эгіпцяне выкарыстоўвалі такія арытмэтычныя апэрацыі як складаньне, падваеньне й дадатак дробу да адзінкі. Любое множаньне на цэлы лік і дзяленьне без астатку праводзілася з дапамогай шматразовага паўтарэньня апэрацыі падваеньня, што прыводзіла да грувасткіх вылічэньняў, у якіх удзельнічалі пэўныя чальцы пасьлядоўнасьці $1,2,4,8,16,...$. У Старажытным Эгіпце знайшлі прымяненьне толькі аліквотныя дробы, або долі адзінкі ($1/n$), а ўсе астатнія дробы раскладаліся на суму аліквотных. Пры вызначэньні плошчы квадрата, аб'ёму куба, або знаходжаньні боку квадрата паводле ягонай плошчы эгіпцяне сутыкаліся з узьвядзеньнем у ступень і атрыманьнем кораня, хоць назвы гэтых апэрацыяў яшчэ не было.

Бабілёнскія клінапісныя матэматычныя тэксты выкарыстоўвалі шасьцідзесятковую сыстэму зьлічэньня, характэрную яшчэ для шумэраў, і ўяўлялі сабой навучальныя дапаможнікі, якія ўключалі табліцы множаньня для лікаў ад $1$ да $59$, а таксама табліцы зваротных лікаў, табліцы квадратаў і кубоў лікаў натуральнага шэрагу, табліцы вылічэньняў адсоткаў, дробу з падставай $60$. Пры вырашэньні арытмэтычных задачаў бабілёнцы абапіраліся на прапорцыі й прагрэсіі. Яны ведалі формулу сумы $n$ чальцоў арытмэтычнай прагрэсіі, правілы для сумаваньня геамэтрычнай прагрэсіі, вырашалі задачы на адсоткі. У Бабілёне ведалі мноства пітагоравых троек, для пошуку якіх, верагодна, карысталіся невядомым агульным прыёмам. У цэлым, задача знаходжаньня цэлых і рацыянальных рашэньняў раўнаньня $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ ставіцца да тэорыі лікаў. Геамэтрычныя задачы прывялі да неабходнасьці набліжанага здабываньня квадратных каранёў, якое яны выконвалі выкарыстоўваючы правіла ${\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2a}}$.

Найпрасьцейшыя арытмэтычныя апэрацыі

Асноўны артыкул: Арытмэтычная апэрацыя

• Складаньне
• Адыманьне
• Множаньне
• Дзяленьне

Вонкавыя спасылкі

Арытмэтыка — сховішча мультымэдыйных матэрыялаў